《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

1. 用公式法解方程$4y^{2}-12y-3= 0$,得到(C)
A. $y= \frac {-3\pm \sqrt {6}}{2}$
B. $y= \frac {3\pm \sqrt {6}}{2}$
C. $y= \frac {3\pm 2\sqrt {3}}{2}$
D. $y= \frac {-3\pm 2\sqrt {3}}{2}$

答案： C

2. 若$x= \frac {2\pm \sqrt {4-4×3×(-1)}}{2×3}$是某个一元二次方程的根,则这个一元二次方程可以是(D)
A. $3x^{2}+2x-1= 0$
B. $2x^{2}+4x-1= 0$
C. $-x^{2}-2x+3= 0$
D. $3x^{2}-2x-1= 0$

答案： D

3. 关于x的一元二次方程$x^{2}-4x+k= 0$无实数根,则k的取值范围是(A)
A. $k＞4$
B. $k＜4$
C. $k＜-4$
D. $k＞1$

答案： A

4. [2023 泸州] 关于x的一元二次方程$x^{2}+2ax+a^{2}-1= 0$的根的情况是(C)
A. 没有实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 实数根的个数与实数a的取值有关

答案： C

5. 用公式法解方程$3x^{2}-11x-1= 0$,得到方程的两根为a,b,且$a＞b$,则a的值是(D)
A. $\frac {-11+\sqrt {109}}{6}$
B. $\frac {-11+\sqrt {133}}{6}$
C. $\frac {11+\sqrt {109}}{6}$
D. $\frac {11+\sqrt {133}}{6}$

答案： D

6. [2024 郑州金水区模拟] 王林准备解一元二次方程$2x^{2}+4x+●= 0$时,发现常数项被污染,若该方程有实数根,则●处的数可能是(A)
A. 2
B. 3
C. 5
D. 7

答案： A

7. 方程$(x+1)(x+2)= 1$化成一般形式是$ x^{2}+3x+1=0 $,$b^{2}-4ac= $5,用求根公式可求得$x_{1}= $$ \frac{-3-\sqrt{5}}{2} $,$x_{2}= $$ \frac{-3+\sqrt{5}}{2} $.

答案： $ x^{2}+3x+1=0 $；5；$ \frac{-3-\sqrt{5}}{2} $；$ \frac{-3+\sqrt{5}}{2} $

8. 用公式法解下列方程：
(1)$3x^{2}-4x-1= 0$；
【解】这里 $ a=3 $，$ b=-4 $，$ c=-1 $。
$ \because b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4×3×(-1)=28＞0 $，
$ \therefore x=\frac{4\pm2\sqrt{7}}{6}=\frac{2\pm\sqrt{7}}{3} $。
$ \therefore x_{1}=\frac{2+\sqrt{7}}{3} $，$ x_{2}=\frac{2-\sqrt{7}}{3} $。
(2)$x^{2}-6x= -1$；
【解】整理，得 $ x^{2}-6x+1=0 $。
这里 $ a=1 $，$ b=-6 $，$ c=1 $。
$ \because b^{2}-4ac=36-4=32＞0 $，
$ \therefore x=\frac{6\pm4\sqrt{2}}{2}=3\pm2\sqrt{2} $。
$ \therefore x_{1}=3+2\sqrt{2} $，$ x_{2}=3-2\sqrt{2} $。
(3)$x^{2}+2= 4\sqrt {2}x$；
【解】整理，得 $ x^{2}-4\sqrt{2}x+2=0 $。
这里 $ a=1 $，$ b=-4\sqrt{2} $，$ c=2 $。
$ \because b^{2}-4ac=(-4\sqrt{2})^{2}-4×1×2=24＞0 $，
$ \therefore x=\frac{4\sqrt{2}\pm\sqrt{24}}{2}=2\sqrt{2}\pm\sqrt{6} $。
$ \therefore x_{1}=2\sqrt{2}+\sqrt{6} $，$ x_{2}=2\sqrt{2}-\sqrt{6} $。
(4)$x(x-3)-4= 0$.
【解】整理，得 $ x^{2}-3x-4=0 $。
这里 $ a=1 $，$ b=-3 $，$ c=-4 $。
$ \because b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4×1×(-4)=25＞0 $，
$ \therefore x=\frac{3\pm5}{2} $。
$ \therefore x_{1}=4 $，$ x_{2}=-1 $。

答案： 【解】
(1)这里 $ a=3 $，$ b=-4 $，$ c=-1 $。
$ \because b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4×3×(-1)=28＞0 $，
$ \therefore x=\frac{4\pm2\sqrt{7}}{6}=\frac{2\pm\sqrt{7}}{3} $。
$ \therefore x_{1}=\frac{2+\sqrt{7}}{3} $，$ x_{2}=\frac{2-\sqrt{7}}{3} $。
(2)整理，得 $ x^{2}-6x+1=0 $。
这里 $ a=1 $，$ b=-6 $，$ c=1 $。
$ \because b^{2}-4ac=36-4=32＞0 $，
$ \therefore x=\frac{6\pm4\sqrt{2}}{2}=3\pm2\sqrt{2} $。
$ \therefore x_{1}=3+2\sqrt{2} $，$ x_{2}=3-2\sqrt{2} $。
(3)整理，得 $ x^{2}-4\sqrt{2}x+2=0 $。
这里 $ a=1 $，$ b=-4\sqrt{2} $，$ c=2 $。
$ \because b^{2}-4ac=(-4\sqrt{2})^{2}-4×1×2=24＞0 $，
$ \therefore x=\frac{4\sqrt{2}\pm\sqrt{24}}{2}=2\sqrt{2}\pm\sqrt{6} $。
$ \therefore x_{1}=2\sqrt{2}+\sqrt{6} $，$ x_{2}=2\sqrt{2}-\sqrt{6} $。
(4)整理，得 $ x^{2}-3x-4=0 $。
这里 $ a=1 $，$ b=-3 $，$ c=-4 $。
$ \because b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4×1×(-4)=25＞0 $，
$ \therefore x=\frac{3\pm5}{2} $。
$ \therefore x_{1}=4 $，$ x_{2}=-1 $。

9. 若一元二次方程$x^{2}+bx+4= 0的两个实数根中较小的一个根是m(m≠0)$,则$b+\sqrt {b^{2}-16}= $(D)
A. m
B. -m
C. 2m
D. -2m

答案： D

10. 在平面直角坐标系中,若直线$y= -x+m$不经过第一象限,则关于x的方程$mx^{2}+x+1= 0$的实数根的个数为(D)
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 1个或2个

答案： D