《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

1. [2023 六安金安区期末]将方程$3x^{2}-9x+2= 0$配方成$(x+m)^{2}= n$的形式为(A)
A. $(x-\frac {3}{2})^{2}= \frac {19}{12}$
B. $(x-3)^{2}= \frac {9}{4}$
C. $(x-3)^{2}= \frac {27}{12}$
D. $(x-\frac {3}{2})^{2}= \frac {25}{3}$

答案： A

2. [2024 聊城期末]用配方法解一元二次方程$-3x^{2}+12x-2= 0$时,将它化为$(x+a)^{2}= b$的形式,则$a+b$的值为(D)
A. $\frac {14}{3}$
B. $\frac {10}{3}$
C. $\frac {16}{3}$
D. $\frac {4}{3}$

答案： D

3. 情境题 兴趣学习 某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程,每人负责完成一个步骤.如图所示,老师看后,发现有一名同学所负责的步骤是错误的,则这名同学是(B)

A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁

答案： B

4. 已知$4x^{2}-ax+1可变为(2x-b)^{2}$的形式,则$ab= $4.

答案： 4

5. 新考法 过程辨析法 已知二次三项式$4x^{2}+8x+8$,圆圆同学对其进行变形如下:$4x^{2}+8x+8= x^{2}+2x+2= (x+1)^{2}+1$,所以圆圆得到结论:当$x= -1$时,这个二次三项式有最小值为1.圆圆的解答正确吗?如果不正确,写出正确的解答.
【解】圆圆的解答错误.正确的解答：$4x^{2}+8x+8=4(x^{2}+2x+1)+4=4(x+1)^{2}+4$，所以当$x=-1$时，这个二次三项式有最小值为4.

答案： 【解】圆圆的解答错误.
正确的解答：$4x^{2}+8x+8=4(x^{2}+2x+1)+4=4(x+1)^{2}+4$，
所以当$x=-1$时，这个二次三项式有最小值为4.

6. 母题 教材 P40 习题 T1 用配方法解下列方程:
(1)$3x^{2}-9x-2= 0;$
【解】两边同除3，得$x^{2}-3x-\frac{2}{3}=0$，移项，得$x^{2}-3x=\frac{2}{3}$，配方，得$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{2}{3}+\frac{9}{4}$，即$(x-\frac{3}{2})^{2}=\frac{35}{12}$，开平方，得$x-\frac{3}{2}=\pm\sqrt{\frac{35}{12}}=\pm\frac{\sqrt{105}}{6}$，所以$x_{1}=\frac{9+\sqrt{105}}{6},x_{2}=\frac{9-\sqrt{105}}{6}.$
(2)$2x^{2}-6= 4x;$
【解】整理，得$x^{2}-2x=3$，配方，得$x^{2}-2x+1=4$，即$(x-1)^{2}=4$，开平方，得$x-1=\pm2$，所以$x_{1}=3,x_{2}=-1.$
(3)$-3x^{2}-6x+2= 0;$
【解】整理，得$x^{2}+2x=\frac{2}{3}$，配方，得$x^{2}+2x+1=\frac{5}{3}$，即$(x+1)^{2}=\frac{5}{3}$，开平方，得$x+1=\pm\frac{\sqrt{15}}{3}$，所以$x_{1}=\frac{\sqrt{15}-3}{3},x_{2}=\frac{-\sqrt{15}-3}{3}.$
(4)$2-\frac {1}{3}x^{2}= \frac {5}{3}x.$
【解】整理，得$x^{2}+5x=6$，配方，得$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{49}{4}$，即$(x+\frac{5}{2})^{2}=\frac{49}{4}$，开平方，得$x+\frac{5}{2}=\pm\frac{7}{2}$，所以$x_{1}=1,x_{2}=-6.$

答案： 【解】
(1)两边同除3，得$x^{2}-3x-\frac{2}{3}=0$，
移项，得$x^{2}-3x=\frac{2}{3}$，
配方，得$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{2}{3}+\frac{9}{4}$，
即$(x-\frac{3}{2})^{2}=\frac{35}{12}$，
开平方，得$x-\frac{3}{2}=\pm\sqrt{\frac{35}{12}}=\pm\frac{\sqrt{105}}{6}$，
所以$x_{1}=\frac{9+\sqrt{105}}{6},x_{2}=\frac{9-\sqrt{105}}{6}$.
(2)整理，得$x^{2}-2x=3$，
配方，得$x^{2}-2x+1=4$，
即$(x-1)^{2}=4$，
开平方，得$x-1=\pm2$，
所以$x_{1}=3,x_{2}=-1$.
(3)整理，得$x^{2}+2x=\frac{2}{3}$，
配方，得$x^{2}+2x+1=\frac{5}{3}$，
即$(x+1)^{2}=\frac{5}{3}$，
开平方，得$x+1=\pm\frac{\sqrt{15}}{3}$，
所以$x_{1}=\frac{\sqrt{15}-3}{3},x_{2}=\frac{-\sqrt{15}-3}{3}$.
(4)整理，得$x^{2}+5x=6$，
配方，得$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{49}{4}$，
即$(x+\frac{5}{2})^{2}=\frac{49}{4}$，
开平方，得$x+\frac{5}{2}=\pm\frac{7}{2}$，
所以$x_{1}=1,x_{2}=-6$.

7. 用配方法解下列方程时,配方有错误的是(B)
A. $x^{2}-2x-99= 0化为(x-1)^{2}= 100$
B. $x^{2}+8x+9= 0化为(x+4)^{2}= 25$
C. $2t^{2}-7t-4= 0化为(t-\frac {7}{4})^{2}= \frac {81}{16}$
D. $3y^{2}-4y-2= 0化为(y-\frac {2}{3})^{2}= \frac {10}{9}$

答案： B

8. 已知实数$m,n,c满足m^{2}-m+\frac {1}{2}c= 0,n= 4m^{2}-4m+c^{2}-\frac {1}{4}$,则$n$的取值范围是(D)
A. $n＞-\frac {5}{4}$
B. $n≥-\frac {5}{4}$
C. $n＞-1$
D. $n≥-1$

答案： D 【点拨】$\because m^{2}-m+\frac{1}{2}c=0$，
$\therefore m^{2}-m=-\frac{1}{2}c$.
$\because m^{2}-m=(m-\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4}$，
$\therefore c\leqslant\frac{1}{2}$.
$n=4m^{2}-4m+c^{2}-\frac{1}{4}=4(m^{2}-m)+c^{2}-\frac{1}{4}=4\times(-\frac{1}{2}c)+c^{2}-\frac{1}{4}=c^{2}-2c-\frac{1}{4}=(c-1)^{2}-\frac{5}{4}$.
$\because c\leqslant\frac{1}{2},\therefore(c-1)^{2}\geqslant\frac{1}{4}$，
$\therefore n\geqslant-1$.
故选D.

9. [2024 扬州期末]关于$x的一元二次方程ax^{2}+bx+c= 0(a,b,c$是常数,$a≠0)配方后为(x-2)^{2}= d$(d是常数),则$\frac {b}{a}=$-4.

答案： -4