《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

9. 新考法·阅读类比法 2024·盐城大丰区期中 阅读下列材料：
已知实数$m$,$n满足(2m^{2}+n^{2}+1)(2m^{2}+n^{2}-1)= 80$,试求$2m^{2}+n^{2}$的值.
解：设$2m^{2}+n^{2}= y$,
则原方程可化为$(y+1)(y-1)= 80$,即$y^{2}= 81$,解得$y= \pm 9$.
$\because 2m^{2}+n^{2}\geqslant 0$,
$\therefore 2m^{2}+n^{2}= 9$.
上面这种方法称为“换元法”,换元法是数学学习中最常用的一种思想方法,在结构较复杂的数和式的运算中,若把其中某些部分看成一个整体,并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化.根据以上材料,解决下列问题：
(1)已知实数$x$,$y满足(2x^{2}+2y^{2}+3)(2x^{2}+2y^{2}-3)= 27$,求$x^{2}+y^{2}$的值；
解：设$2x^{2}+2y^{2}=t$。
$\because (2x^{2}+2y^{2}+3)(2x^{2}+2y^{2}-3)=27$，
$\therefore t^{2}-9=27$。
$\therefore t^{2}=36$。
$\because t\geq 0$，
$\therefore t=6$。
$\therefore 2x^{2}+2y^{2}=6$。
$\therefore x^{2}+y^{2}=$3。
(2)解方程$x^{2}-3|x|+2= 0$。
解：$x^{2}-3|x|+2=0$，
$|x|^{2}-3|x|+2=0$，
设$|x|=t$，则$t\geq 0$，
$\therefore t^{2}-3t + 2=(t - 1)(t - 2)=0$。
$\therefore t - 1=0$或$t - 2=0$。
$\therefore t_{1}=$1,$t_{2}=$2。
$\therefore |x|=1$或$|x|=2$。
$\therefore x_{1}=$-1,$x_{2}=$1,$x_{3}=$-2,$x_{4}=$2。

答案： 【解】
(1)设$ 2x^{2}+2y^{2}=t $。
$ \because (2x^{2}+2y^{2}+3)(2x^{2}+2y^{2}-3)=27 $，
$ \therefore t^{2}-9=27 $。
$ \therefore t^{2}=36 $。
$ \because t\geq 0 $，
$ \therefore t=6 $。
$ \therefore 2x^{2}+2y^{2}=6 $。
$ \therefore x^{2}+y^{2}=3 $。
(2)$ x^{2}-3|x|+2=0 $，
$ |x|^{2}-3|x|+2=0 $，
设$ |x|=t $，则$ t\geq 0 $，
$ \therefore t^{2}-3t + 2=(t - 1)(t - 2)=0 $。
$ \therefore t - 1=0 $或$ t - 2=0 $。
$ \therefore t_{1}=1,t_{2}=2 $。
$ \therefore |x|=1 $或$ |x|=2 $。
$ \therefore x_{1}=-1,x_{2}=1,x_{3}=-2,x_{4}=2 $。

10. 阅读材料,解答问题：
为解方程$x^{4}-3x^{2}+2= 0$,我们将$x^{2}$视为一个整体.
解：设$x^{2}= y$,则$x^{4}= y^{2}$,
原方程可化为$y^{2}-3y+2= 0$,
解得$y_{1}= 2$,$y_{2}= 1$.
当$x^{2}= 2$时,$x= \pm \sqrt {2}$；
当$x^{2}= 1$时,$x= \pm 1$.
$\therefore原方程的解为x= \pm \sqrt {2}或x= \pm 1$.
(1)上面的解题方法,利用______换元法达到了降次的目的；
(2)依据此方法解方程：$(x^{2}-1)^{2}-5(x^{2}-1)+6= 0$.
【解】设$ x^{2}-1=y $，
原方程可化为$ y^{2}-5y + 6=0 $，
解得$ y_{1}=2,y_{2}=3 $。
当$ x^{2}-1=2 $时，$ x=\pm \sqrt{3} $；
当$ x^{2}-1=3 $时，$ x=\pm 2 $。
$ \therefore $原方程的解为$ x=\pm \sqrt{3} $或$ x=\pm 2 $。

答案： 【解】
(1)换元
(2)$ (x^{2}-1)^{2}-5(x^{2}-1)+6=0 $，
设$ x^{2}-1=y $，
原方程可化为$ y^{2}-5y + 6=0 $，
解得$ y_{1}=2,y_{2}=3 $。
当$ x^{2}-1=2 $时，$ x=\pm \sqrt{3} $；
当$ x^{2}-1=3 $时，$ x=\pm 2 $。
$ \therefore $原方程的解为$ x=\pm \sqrt{3} $或$ x=\pm 2 $。