《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

8. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,AC= 8,BC= 6,D为斜边AB上一点,以CD,CB为边作平行四边形CDEB,当AD= $\frac{14}{5}$时,平行四边形CDEB为菱形.

答案： $\boldsymbol{\frac{14}{5}}$

9. 新视用 动点探究题 如图,平行四边形ABCD中,AD= 9cm,CD= 3√2cm,∠B= 45°,点M,N分别以A,C为起点,以1cm/s的速度沿AD,CB边同时运动,设点M,N运动的时间为ts(0≤t≤6),连接AN,CM,当t= $\frac{15}{4}$时,四边形AMCN为菱形.

答案： $\frac{15}{4}$

10. [2023遂宁]如图,四边形ABCD中,AD//BC,点O为对角线BD的中点,过点O的直线l分别与AD,BC所在的直线相交于点E,F.(点E不与点D重合)
(1)求证:△DOE≌△BOF;
证明：
因为AD// BC，根据两直线平行，内错角相等，所以∠EDO=∠FBO。
又因为点O为对角线BD的中点，所以OD = OB。
在△DOE和△BOF中：
$\left\{\begin{array}{l}\angle EDO=\angle FBO\\OD = OB\\\angle DOE=\angle BOF\end{array}\right.$（对顶角相等）。
根据ASA判定定理，可得△DOE≌△BOF。
(2)当直线l⊥BD时,连接BE,DF,试判断四边形EBFD的形状,并说明理由.
解：
四边形EBFD是菱形。
理由如下：
因为△DOE≌△BOF，所以OE = OF。
又因为OB = OD，根据平行四边形的判定定理（对角线互相平分的四边形是平行四边形），所以四边形EBFD是平行四边形。
因为直线l⊥BD，即EF⊥BD。
根据菱形的判定定理（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），所以平行四边形EBFD是菱形。

答案： 1. （1）证明：
因为$AD// BC$，根据两直线平行，内错角相等，所以$\angle EDO=\angle FBO$。
又因为点$O$为对角线$BD$的中点，所以$OD = OB$。
在$\triangle DOE$和$\triangle BOF$中：
$\left\{\begin{array}{l}\angle EDO=\angle FBO\\OD = OB\\\angle DOE=\angle BOF\end{array}\right.$（对顶角相等）。
根据$ASA$（角 - 边 - 角）判定定理，可得$\triangle DOE\cong\triangle BOF$。
2. （2）解：
四边形$EBFD$是菱形。
理由如下：
因为$\triangle DOE\cong\triangle BOF$，所以$OE = OF$。
又因为$OB = OD$，根据平行四边形的判定定理（对角线互相平分的四边形是平行四边形），所以四边形$EBFD$是平行四边形。
因为直线$l\perp BD$，即$EF\perp BD$。
根据菱形的判定定理（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），所以平行四边形$EBFD$是菱形。
综上，（1）已证$\triangle DOE\cong\triangle BOF$；（2）四边形$EBFD$是菱形。

11. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,AE平分∠CAB交CB于点E,CD⊥AB于点D,交AE于点G,过点G作GF//BC交AB于F,连接EF.
(1)求证:CG= CE;
(2)判断四边形CGFE的形状,并证明;
(3)若AC= 3cm,BC= 4cm,求线段DG的长度.
(1)证明:因为∠ACB = 90°,CD⊥AB,所以∠ACD+∠BCD = 90°,∠B+∠BCD = 90°,则∠ACD=∠B.因为AE平分∠CAB,所以∠CAE=∠BAE.又因为∠CGE=∠CAE+∠ACD,∠CEG=∠BAE+∠B,所以∠CGE=∠CEG.根据等角对等边,可得CG = CE.
(2)判断四边形CGFE的形状为菱形.证明:因为GF// BC,所以∠AGF=∠ACD.由(1)知∠ACD=∠B,所以∠AGF=∠B,则AG = AF.又因为∠CAE=∠BAE,AE = AE,所以△ACE≌△AFE(SAS).所以CE = FE,又CG = CE,所以CG = FE.因为GF// BC,即GF// CE,所以四边形CGFE是平行四边形.又CG = CE,所以平行四边形CGFE是菱形.
(3)在Rt△ABC中,AC = 3cm,BC = 4cm,根据勾股定理AB=√(AC²+BC²)=√(3²+4²)=5cm.由S△ABC=1/2AC·BC=1/2AB·CD,可得CD=(AC·BC)/AB=(3×4)/5=12/5cm.因为△ACE≌△AFE,所以AC = AF = 3cm.在Rt△ACD中,AD=√(AC²-CD²)=√(3²-(12/5)²)=9/5cm,则DF=AF - AD=3 - 9/5=6/5cm.设DG = x,则CG = CD - DG=12/5 - x.因为GF// BC,所以△DGF∽△DCB.则DG/DC=DF/DB,DB=AB - AD=5 - 9/5=16/5cm,即x/(12/5)=(6/5)/(16/5),解得x=9/10cm.所以线段DG的长度为9/10cm.

答案： 1. （1）证明$CG = CE$：
因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD\perp AB$，所以$\angle ACD+\angle BCD = 90^{\circ}$，$\angle B+\angle BCD = 90^{\circ}$，则$\angle ACD=\angle B$。
因为$AE$平分$\angle CAB$，所以$\angle CAE=\angle BAE$。
又因为$\angle CGE=\angle CAE+\angle ACD$，$\angle CEG=\angle BAE+\angle B$，所以$\angle CGE=\angle CEG$。
根据等角对等边，可得$CG = CE$。
2. （2）判断四边形$CGFE$的形状并证明：
因为$GF// BC$，所以$\angle AGF=\angle ACD$。
由（1）知$\angle ACD=\angle B$，所以$\angle AGF=\angle B$，则$AG = AF$。
又因为$\angle CAE=\angle BAE$，$AE = AE$，所以$\triangle ACE\cong\triangle AFE(SAS)$。
所以$CE = FE$，又$CG = CE$，所以$CG = FE$。
因为$GF// BC$，即$GF// CE$，所以四边形$CGFE$是平行四边形。
又$CG = CE$，所以平行四边形$CGFE$是菱形。
3. （3）求线段$DG$的长度：
在$Rt\triangle ABC$中，$AC = 3cm$，$BC = 4cm$，根据勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5cm$。
由$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CD$，可得$CD=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}cm$。
因为$\triangle ACE\cong\triangle AFE$，所以$AC = AF = 3cm$，则$DF=AF - AD$。
由$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CD$，$AD=\frac{AC^{2}}{AB}=\frac{9}{5}cm$。
因为四边形$CGFE$是菱形，所以$CG = FE$，$CG// FE$。
设$DG = x$，则$CG = CD - DG=\frac{12}{5}-x$。
因为$GF// BC$，所以$\triangle ADG\sim\triangle ACD$。
则$\frac{DG}{CD}=\frac{AD}{AC}$，即$\frac{x}{\frac{12}{5}}=\frac{\frac{9}{5}}{3}$。
解方程$\frac{x}{\frac{12}{5}}=\frac{3}{5}$，$x=\frac{36}{25}cm$。
综上，（1）得证$CG = CE$；（2）四边形$CGFE$是菱形；（3）$DG$的长度为$\frac{36}{25}cm$。