《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

10. 新视角 新定义题 现规定一种新运算:$\begin{vmatrix} a&b\\ c&d\end{vmatrix} =ad-bc$,若$2x^{2}-4x+1= 0$,则$\begin{vmatrix} x&0\\ -3x^{2}&\sqrt {2}\end{vmatrix} $的值为$\sqrt{2}\pm1$.

答案： $\sqrt{2}\pm1$ 【点拨】方程$2x^{2}-4x+1=0$，
整理，得$x^{2}-2x=-\frac{1}{2}$，
配方，得$x^{2}-2x+1=-\frac{1}{2}+1$，即$(x-1)^{2}=\frac{1}{2}$，
开方，得$x-1=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore x=1\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.
则原式$=\sqrt{2}x-0=\sqrt{2}x=\sqrt{2}\pm1$.

11. 用配方法求一元二次方程$(2x+3)(x-6)= 16$的实数根.

答案： 【解】原方程化为一般形式为$2x^{2}-9x-34=0$，
$x^{2}-\frac{9}{2}x=17$，
$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=17+\frac{81}{16}$，
$(x-\frac{9}{4})^{2}=\frac{353}{16}$，
$x-\frac{9}{4}=\pm\frac{\sqrt{353}}{4}$，
$\therefore x_{1}=\frac{9+\sqrt{353}}{4},x_{2}=\frac{9-\sqrt{353}}{4}$.

12. 试用配方法证明以下结论:
(1)对于任何实数$x$,均有$2x^{2}+4x+3＞0;$
(2)对于任何实数$x$,多项式$3x^{2}-5x-1的值总大于2x^{2}-4x-2$的值.

答案： 【证明】
(1)$2x^{2}+4x+3$
$=2(x^{2}+2x)+3$
$=2[(x^{2}+2x+1)-1]+3$
$=2(x+1)^{2}+1$.
$\because$对于任何实数$x,2(x+1)^{2}\geqslant0$，
$\therefore2(x+1)^{2}+1\geqslant1＞0$.
$\therefore$对于任何实数$x$，均有$2x^{2}+4x+3＞0$.
(2)$3x^{2}-5x-1-(2x^{2}-4x-2)=x^{2}-x+1=(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}$.
$\because$对于任何实数$x,(x-\frac{1}{2})^{2}\geqslant0$，
$\therefore(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}\geqslant\frac{3}{4}＞0$.
$\therefore3x^{2}-5x-1＞2x^{2}-4x-2$.
$\therefore$对于任何实数$x$，多项式$3x^{2}-5x-1$的值总大于$2x^{2}-4x-2$的值.

13. 新考法 阅读类比法 阅读材料:若$m^{2}-2mn+2n^{2}-8n+16= 0$,求$m,n$的值.
解:$\because m^{2}-2mn+2n^{2}-8n+16= 0,$
$\therefore (m^{2}-2mn+n^{2})+(n^{2}-8n+16)= 0.$
$\therefore (m-n)^{2}+(n-4)^{2}= 0.$
$\therefore (m-n)^{2}= 0,(n-4)^{2}= 0.$
$\therefore n= 4,m= 4.$
根据你的观察,探究下面的问题:
(1)已知$a^{2}+6ab+10b^{2}+2b+1= 0$,求$a-b$的值;4
(2)已知等腰三角形$ABC的三边长a,b,c$都是正整数,且满足$2a^{2}+b^{2}-4a-6b+11= 0$,求$\triangle ABC$的周长;7
(3)已知$x+y= 2,xy-z^{2}-4z= 5$,求$xyz$的值.-2

答案： 【解】
(1)$\because a^{2}+6ab+10b^{2}+2b+1=0$，
$\therefore a^{2}+6ab+9b^{2}+b^{2}+2b+1=0$.
$\therefore(a+3b)^{2}+(b+1)^{2}=0$.
$\therefore a+3b=0,b+1=0$，
解得$b=-1,a=3$.
$\therefore a-b=4$.
(2)$\because2a^{2}+b^{2}-4a-6b+11=0$，
$\therefore2a^{2}-4a+2+b^{2}-6b+9=0$.
$\therefore2(a-1)^{2}+(b-3)^{2}=0$.
$\therefore a-1=0,b-3=0$，
解得$a=1,b=3$.
由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1，3，3，
$\therefore\triangle ABC$的周长为$1+3+3=7$.
(3)$\because x+y=2$，
$\therefore y=2-x$.
$\therefore x(2-x)-z^{2}-4z=5$.
$\therefore x^{2}-2x+1+z^{2}+4z+4=0$.
$\therefore(x-1)^{2}+(z+2)^{2}=0$.
$\therefore x-1=0,z+2=0$，
解得$x=1,z=-2$.
$\therefore y=1$.
$\therefore xyz=-2$.