《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

1.方程$(x + 1)^2 = 0$的根是 (B)
A.$x_1 = x_2 = 1$
B.$x_1 = x_2 = -1$
C.$x_1 = -1,x_2 = 1$
D.无实数根

答案： B

2.用配方法解方程$x^2 - 4x - 1 = 0$时,配方后正确的是 (C)
A.$(x + 2)^2 = 3$
B.$(x + 2)^2 = 17$
C.$(x - 2)^2 = 5$
D.$(x - 2)^2 = 17$

答案： C

3.易错题 一同学将方程$x^2 - 4x - 3 = 0化成了(x + m)^2 = n$的形式,则$m,n$的值应为 (A)
A.$m = -2,n = 7$
B.$m = 2,n = 7$
C.$m = -2,n = 1$
D.$m = 2,n = -7$

答案： A

4.[2024运城模拟] 配方法是解一元二次方程的一种基本方法,其本质是将一元二次方程由一般式$ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0)化为(x + m)^2 = n(n≥0)$的形式,然后利用开方求一元二次方程的解的过程,这个过程体现的数学思想是 (C)
A.数形结合思想
B.函数思想
C.转化思想
D.公理化思想

答案： C

5.方程$x^2 = 16$的解为$ x_{1}=4 $，$ x_{2}=-4 $.

答案： $ x_{1}=4 $，$ x_{2}=-4 $

6.如果关于$x的方程(x - 1)^2 = m$没有实数根,那么实数$m$的取值范围是$ m＜0 $.

答案： $ m＜0 $

7.母题 教材P37习题T1 解方程：
(1)$(3x - 1)^2 - 25 = 0$；
【解】移项，得$ (3x - 1)^{2}=$25。
两边开平方，得$ 3x - 1=$±5，
即$ 3x - 1=$5，或$ 3x - 1=$-5。
所以$ x_{1}=$2，$ x_{2}=$$-\frac{4}{3}$。
(2)$x^2 - 2x - 6 = 0$.
【解】配方，得$ x^{2}-2x +$1$- $1$- 6=0 $，
即$ (x - $1$)^{2}-$7$=0 $。
移项，得$ (x - $1$)^{2}=$7。
两边开平方，得$ x - $1$= $±$\sqrt{7}$。
即$ x - $1$= $$\sqrt{7}$，或$ x - $1$= $$-\sqrt{7}$。
所以$ x_{1}=$$1+\sqrt{7}$，$ x_{2}=$$1-\sqrt{7}$。

答案： 【解】
(1)移项，得$ (3x - 1)^{2}=25 $。
两边开平方，得$ 3x - 1=\pm 5 $，
即$ 3x - 1=5 $，或$ 3x - 1=-5 $。
所以$ x_{1}=2 $，$ x_{2}=-\frac{4}{3} $。
(2)配方，得$ x^{2}-2x + 1 - 1 - 6=0 $，
即$ (x - 1)^{2}-7=0 $。
移项，得$ (x - 1)^{2}=7 $。
两边开平方，得$ x - 1=\pm \sqrt{7} $。
即$ x - 1=\sqrt{7} $，或$ x - 1=-\sqrt{7} $。
所以$ x_{1}=1+\sqrt{7} $，$ x_{2}=1-\sqrt{7} $。

8.新趋势 过程性学习 阅读材料,并回答问题：
佳佳解一元二次方程$x^2 + 6x - 4 = 0$的过程如下：
解：$x^2 + 6x - 4 = 0$,
$x^2 + 6x = 4$,……①
$x^2 + 6x + 9 = 4$,……②
$(x + 3)^2 = 4$,……③
$x + 3 = ±2$,……④
$x + 3 = 2$,或$x + 3 = -2$,
$x_1 = -1,x_2 = -5$.
问题：
(1)佳佳解方程的方法是B；
A.直接开平方法
B.配方法
C.公式法
D.因式分解法
(2)上述解答过程中,从②步开始出现了错误(填序号),发生错误的原因是等号右边没有加9；
(3)在下面的空白处,写出正确的解答过程.
正确解答过程为：
$ x^{2}+6x - 4=0 $，
移项，得$ x^{2}+6x=4 $，
配方，得$ x^{2}+6x + 9=4 + 9 $，即$ (x + 3)^{2}=13 $，
两边开平方，得$ x + 3=\pm \sqrt{13} $。
即$ x + 3=\sqrt{13} $，或$ x + 3=-\sqrt{13} $。
$ \therefore x_{1}=-3+\sqrt{13} $，$ x_{2}=-3-\sqrt{13} $。

答案： 【解】
(1)B
(2)②；等号右边没有加9
(3)正确解答过程为：
$ x^{2}+6x - 4=0 $，
移项，得$ x^{2}+6x=4 $，
配方，得$ x^{2}+6x + 9=4 + 9 $，即$ (x + 3)^{2}=13 $，
两边开平方，得$ x + 3=\pm \sqrt{13} $。
即$ x + 3=\sqrt{13} $，或$ x + 3=-\sqrt{13} $。
$ \therefore x_{1}=-3+\sqrt{13} $，$ x_{2}=-3-\sqrt{13} $。

9.新考法 作差法 若$A = x^2 + 2x - 6y,B = -y^2 + 4x - 10$,则$A,B$的大小关系为 (C)
A.$A ＞ B$
B.$A ＜ B$
C.$A ≥ B$
D.$A ≤ B$

答案： C