《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

1. [2024大连中山区模拟]如图,菱形纸片ABCD中,$∠A= 60^{\circ }$,折叠菱形纸片ABCD,使点C落在DP(P为AB的中点)所在的直线上的点$C'$处,得到经过点D的折痕DE,若菱形边长为2,则点E到CD的距离为____.

答案：
$3 - \sqrt{3}$　[点拨]如图,连接BD,过点E作EF⊥CD于点F,则∠EFD = 90°。
∵四边形ABCD为菱形,∠A = 60°,
∴易得△ABD为等边三角形，∠ADC = 120°,∠C = 60°,
∴AD = BD,∠ADB = 60°,∠CEF = 30°。
∴CE = 2CF,
∴易得EF = $\sqrt{3}$CF。
∵P为AB的中点，
∴DP为∠ADB的平分线,
∴∠ADP = ∠BDP = 30°。
∴∠PDC = 90°。
　由折叠的性质得∠CDE = ∠PDE = 45°。
　设EF = x,则易得DF = x,CF = $\frac{\sqrt{3}}{3}$x,
∵菱形的边长为2,
∴CD = 2。
∴x + $\frac{\sqrt{3}}{3}$x = 2,解得x = 3 - $\sqrt{3}$
∴点E到CD的距离为3 - $\sqrt{3}$
　　　　　　　　　　　　　　　　

2. 如图,在菱形ABCD中,$∠A= 60^{\circ }$,E为AD边上的一个动点,连接BE,将$\triangle ABE$沿着BE折叠得到$\triangle A'BE$,连接$A'D$,当$A'B⊥AD$时,$∠A'DE$的度数为15°.

答案： 15°　[点拨]连接AA',BD,
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = AD。
∵∠A = 60°,
∴△ABD是等边三角形.
∴∠ABD = 60°。
∵A'B⊥AD,
∴A'B垂直平分AD,∠ABA' = 30°。
∴AA' = A'D。
∴∠A'AD = ∠A'DA。
∵将AB沿着BE折叠得到A'B,
∴AB = A'B。
∴易得∠BAA' = 75°。
∴∠A'DE = ∠A'AD = 15°。

3. 如图,在菱形ABCD中,$AB= 6,∠A= 60^{\circ }$,点E为边AD上一点,将点C折叠与点E重合,折痕与边CD和BC分别交于点F和点G,当$DE= 2$时,线段CF的长是____.

答案：
$\frac{26}{7}$　[点拨]过点F作FH⊥AD于H,如图所示。
∵四边形ABCD是菱形,∠A = 60°,AB = 6,
∴AB = CD = 6,∠EDF = 120°。
∴∠FDH = 60°。
∴∠DFH = 30°.
∴DH = $\frac{1}{2}$DF。
　设CF = x,则DF = 6 - x.
∴DH = $\frac{1}{2}$(6 - x)。
∴HF = $\sqrt{DF^{2}-DH^{2}}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$(6 - x),EH = DE + DH = 2 + $\frac{1}{2}$(6 - x) = 5 - $\frac{x}{2}$。
　由折叠的性质得EF = CF = x,
　在Rt△EFH中,
∵EF² = EH² + HF²,
∴x² = (5 - $\frac{x}{2}$)² + [$\frac{\sqrt{3}}{2}$(6 - x)]²,解得x = $\frac{26}{7}$。
∴CF = $\frac{26}{7}$。
　　　　　　　　　　　　　　　　

4. 如图,在菱形ABCD中,$∠A= 120^{\circ },AB= 2$,点E是边AB上一点,以DE为对称轴将$\triangle DAE$折叠得到$\triangle DGE$,再折叠BE使BE落在直线EG上,点B的对应点为点H,折痕为EF且交BC于点F.
(1)求$∠DEF$的度数;90°
(2)若点E是AB的中点,求DF的长.$\frac{14}{5}$

答案： [解]
(1)由翻折可得∠AED = ∠DEG、∠BEF = ∠HEF,
∴∠DEG + ∠HEF = ∠AED + ∠BEF。
∵∠DEG + ∠HEF + ∠AED + ∠BEF = 180°,
∴∠DEG + ∠HEF = 90°,
　即∠DEF = 90°。
(2)
∵四边形ABCD为菱形,
∴AD//BC。
　
∴∠A + ∠B = 180°。
　　由翻折可得AE = EG,BE = EH,∠A = ∠EGD,∠B = ∠EHF。
　
∵点E是AB的中点，
∴AE = BE,
　
∴EG = EH。
　　即点G与点H重合
　
∵∠EGD + ∠EHF = ∠A + ∠B = 180°,
　
∴点D,G,F三点在同一条直线上,
过点D作DM⊥BC,交BC的延长线于点M。
　
∵∠A = 120°,AB = 2,
　
∴易得∠DCM = 60°,CD = 2。
　
∴∠CDM = 30°,
　
∴CM = $\frac{1}{2}$CD = 1,
∴DM = $\sqrt{CD^{2}-CM^{2}}$ = $\sqrt{3}$
　由翻折可得BF = FG,AD = DG = 2,
　设BF = x,则MF = 2 - x + 1 = 3 - x,DF = 2 + x,
　　由勾股定理得(2 + x)² = (3 - x)² + ($\sqrt{3}$)²,解得x = $\frac{4}{5}$,
　
∴DF = $\frac{14}{5}$。

5. [2024中山模拟]把一张长方形纸片ABCD按如图方式折叠,使顶点B和D点重合,折痕为EF.若$AB= 3cm,BC= 5cm$,则$A'E$的长度是(D)

A. 1.5 cm
B. 2.4 cm
C. 3.4 cm
D. 1.6 cm

答案： D

6. 如图,点F,G是长方形ABCD边AD上两点,点H是边CD上的点,连接BF,GH,分别将$\triangle ABF,\triangle GDH$沿BF,GH翻折,点A,D恰好都与对角线上的点E重合,若$∠ABF= 24^{\circ }$,则$∠GED= $42°.

答案： 42°