《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

10. [2024 常州实验中学模拟]若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (m - 3)x^{2}+m^{2}x = 9x + 5 $ 化为一般形式后不含一次项,则 $ m $ 的值为(D)
A. 0
B. $ \pm 3 $
C. 3
D. -3

答案： D

11. 新趋势 学科内综合 一元二次方程 $ a(x - 1)^{2}+b(x - 1)+c = 0 $ 化为一般形式后为 $ 2x^{2}-3x - 1 = 0 $,则一次函数 $ y = \frac{a}{b}x + c $ 的图象不经过(B)
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

答案： B

12. 学科素养 数学建模 将一个容积为 $ 360cm^{3} $ 的包装盒剪开铺平,纸样如图所示. 利用容积列出图中 $ x(cm) $ 满足的一元二次方程：$ 15x(10 - x) = 360 $(不必化简).

答案： $ 15x(10 - x) = 360 $

13. 情境题 生活应用 如图所示,在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如果要使整个挂图的面积是 $ 5400cm^{2} $,设金色纸边的宽为 $ xcm $,求满足 $ x $ 的方程的一般形式$ x^{2} + 65x - 350 = 0 $,并写出二次项系数1、一次项系数65和常数项-350.

答案： 【解】由题意得挂图长为$ (80 + 2x) $cm，宽为$ (50 + 2x) $cm，
所以$ (80 + 2x)(50 + 2x) = 5400 $，
即$ 4x^{2} + 160x + 4000 + 100x = 5400 $，
所以$ 4x^{2} + 260x - 1400 = 0 $.
化简得$ x^{2} + 65x - 350 = 0 $.
其中二次项系数为1，一次项系数为65，常数项为-350.

14. 新考法 列举法 若 $ x^{a}-3x^{a - b}+1 = 0 $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程,求 $ a,b $ 的值.
下面是两名同学的解法：
甲：根据题意,得 $ \begin{cases}a = 2,\\a - b = 1,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}a = 2,\\b = 1.\end{cases} $
乙：根据题意,得 $ \begin{cases}a = 2,\\a - b = 1\end{cases} $ 或 $ \begin{cases}a = 1,\\a - b = 2,\end{cases} $
解得 $ \begin{cases}a = 2,\\b = 1\end{cases} $ 或 $ \begin{cases}a = 1,\\b = -1.\end{cases} $
你认为上述两名同学的解法是否正确,为什么？如果不正确,请给出正确的答案.
【解】上述两名同学的解法都不正确. 正确答案如下：
$ \because x^{a} - 3x^{a - b} + 1 = 0 $是关于x的一元二次方程，
$ \therefore $①$ \begin{cases} a = 2, \\ a - b = 0, \end{cases} $解得$ \begin{cases} a = 2, \\ b = 2; \end{cases} $②$ \begin{cases} a = 2, \\ a - b = 1, \end{cases} $解得$ \begin{cases} a = 2, \\ b = 1; \end{cases} $
③$ \begin{cases} a = 2, \\ a - b = 2, \end{cases} $解得$ \begin{cases} a = 2, \\ b = 0; \end{cases} $④$ \begin{cases} a = 0, \\ a - b = 2, \end{cases} $解得$ \begin{cases} a = 0, \\ b = -2; \end{cases} $
⑤$ \begin{cases} a = 1, \\ a - b = 2, \end{cases} $解得$ \begin{cases} a = 1, \\ b = -1. \end{cases} $
综上所述，$ \begin{cases} a = 2, \\ b = 2 \end{cases} $或$ \begin{cases} a = 2, \\ b = 1 \end{cases} $或$ \begin{cases} a = 2, \\ b = 0 \end{cases} $或$ \begin{cases} a = 0, \\ b = -2 \end{cases} $或$ \begin{cases} a = 1, \\ b = -1. \end{cases} $

答案： 【解】上述两名同学的解法都不正确. 正确答案如下：
$ \because x^{a} - 3x^{a - b} + 1 = 0 $是关于x的一元二次方程，
$ \therefore $①$ \begin{cases} a = 2, \\ a - b = 0, \end{cases} $解得$ \begin{cases} a = 2, \\ b = 2; \end{cases} $②$ \begin{cases} a = 2, \\ a - b = 1, \end{cases} $解得$ \begin{cases} a = 2, \\ b = 1; \end{cases} $
③$ \begin{cases} a = 2, \\ a - b = 2, \end{cases} $解得$ \begin{cases} a = 2, \\ b = 0; \end{cases} $④$ \begin{cases} a = 0, \\ a - b = 2, \end{cases} $解得$ \begin{cases} a = 0, \\ b = -2; \end{cases} $
⑤$ \begin{cases} a = 1, \\ a - b = 2, \end{cases} $解得$ \begin{cases} a = 1, \\ b = -1. \end{cases} $
综上所述，$ \begin{cases} a = 2, \\ b = 2 \end{cases} $或$ \begin{cases} a = 2, \\ b = 1 \end{cases} $或$ \begin{cases} a = 2, \\ b = 0 \end{cases} $或$ \begin{cases} a = 0, \\ b = -2 \end{cases} $或$ \begin{cases} a = 1, \\ b = -1. \end{cases} $

15. 新考向·数学文化 2023·北京密云区期末 《算法统宗》是中国古代数学名著,作者是明代数学家程大位. 书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起,踏板一尺离地；送行二步与人齐,五尺人高曾记；仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇,算出索长有几？”译文：“如图,秋千静止的时候,踏板离地1尺,将它往前推送两步(两步= 10尺)时,此时踏板升高离地5尺,秋千的绳索始终拉得很直,试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为 $ x $ 尺,则可列方程为(D)

A. $ x^{2}+10^{2} = (x + 1)^{2} $
B. $ (x + 1)^{2}+10^{2} = x^{2} $
C. $ x^{2}+10^{2} = (x - 4)^{2} $
D. $ (x - 4)^{2}+10^{2} = x^{2} $

答案： D