《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

11. 新视角·动点探究题 [2024·无锡惠山区期中]如图,在矩形ABCD中,$AB= 5$,$BC= 4$,动点P从点B出发,以每秒2个单位长度的速度,沿射线BC方向运动,动点Q从点C出发,以每秒1个单位长度的速度,沿线段CD方向运动.点P和点Q同时出发,当点Q到达点D时,两点同时停止运动,设运动时间为$ts(t＞0)$.
(1)用含t的代数式表示线段CP的长；
(2)当PQ与矩形的对角线平行时,求t的值,

答案：
[解]
(1)
∵四边形ABCD为矩形,AB = 5,BC = 4,
　
∴CD = AB = 5,AD = BC = 4,AD // BC.
　
∵点Q在CD上运动，运动的速度为每秒1个单位长度，且点Q到达点D时停止运动，
　
∴点Q从点C运动到点D所用的时间为 $5 \div 1 = 5$ (秒)，且CQ = t.
　
∴0 ＜ t ≤ 5.
　
∵动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度，运动时间为t秒 (t ＞ 0)，
　
∴BP = 2t.
　　① 当0 ＜ t ≤ 2时，CP = 4 - 2t；
　　② 当2 ＜ t ≤ 5时，CP = 2t - 4.
(2)当PQ与矩形ABCD的对角平行时，有以下两种情况:①当PQ // BD时，此时点P在线段BC上，如图①,
　　　　　　　　　　
　则0 ＜ t ≤ 2.

12. 【教材呈现】下面是北师版教材九年级上册82页的部分内容：
一般地,有如下基本事实：
两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.
【问题原型】如图①,在矩形ABCD中,点E为边AB的中点,过点E作$EF// AD$交边DC于点F,点P,Q分别在矩形的边AD,BC上,连接PQ交EF于点M.求证：$PM= QM$.
【结论应用】在【问题原型】的基础上,点R在边BC上(不与点Q重合),连接PR交EF于点N.
(1)如图②,若$MN= 4$,则线段QR的长为______；
(2)当点Q与点B重合,点R与点C重合时,如图③,若$BC= 10$,且$\triangle PMN$周长的最小值为12,则边AB的长为______.

答案：
（1）解：
因为EF//AD//BC，AE=EB。
根据“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”，在△PQR中，QMPM​=EBAE​=1（已证PM=QM），NRPN​=EBAE​=1。
所以M是PQ中点，N是PR中点。
则MN是△PQR的中位线。
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即QR=2MN。
已知MN=4，所以QR=8。
（2）
(2)$2\sqrt{6}$【点拨】如图所示，作点$C$关于$AD$的对称点$G$，连接$PG$，$BG$，$\therefore PG = PC$．$\therefore PB + PC = PB + PG\geqslant BG$．
∴当点 $ P $ 在 $ BG $ 上时，$ PB + PC $ 取得最小值。
又 $ \because PD // BC $，$ D $ 是 $ CG $ 的中点，$ \therefore $ 点 $ P $ 是 $ BG $ 的中点。
$ \therefore PB = PG = PC $，易证 $ P $ 是 $ AD $ 的中点。
即当 $ P $ 是 $ AD $ 的中点时，$ \triangle PBC $ 的周长取得最小值。
根据（1）的结论得出 $ MN $ 是 $ \triangle PQR $ 的中位线。
又 $ \because BC = 10 $，且 $ \triangle PMN $ 周长的最小值为 $ 12 $，
$ \therefore PA = PD = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BC = 5 $，易得 $ \triangle PBC $ 的周长为 $ 24 $。
$ \therefore PB + PC = 24 - 10 = 14 $。
$ \therefore PB = 7 $。
$ \therefore AB = \sqrt{PB^{2} - AP^{2}} = \sqrt{7^{2} - 5^{2}} = 2\sqrt{6} $。