《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

1. 方程$x^{2}= 1$的根是(C)
A. $x= 1$
B. $x= -1$
C. $x= \pm 1$
D. $x= \pm 2$

答案： C

2. [2024佛山南海区模拟]一元二次方程$(2x+1)^{2}-81= 0$的根是$ x_{1}=4,x_{2}=-5 $.

答案： $ x_{1}=4,x_{2}=-5 $

3. 解方程：$\frac {1}{3}(x-2)^{2}= 8$.

答案： 【解】$ \frac{1}{3}(x - 2)^{2}=8,(x - 2)^{2}=24,x - 2=\pm 2\sqrt{6} $，
$ \therefore x_{1}=2 + 2\sqrt{6},x_{2}=2 - 2\sqrt{6} $。

4. 用配方法解方程：
(1)$x^{2}-4x= 5$；
【解】(1)配方，得$ x^{2}-4x + 4=9 $，
即$ (x - 2)^{2}=9 $，
开方，得$ x - 2=3 $或$ x - 2=-3 $，
解得$ x_{1}=$5,$x_{2}=$-1。
(2)$3x^{2}+6x-1= 0$.
【解】(2)整理，得$ x^{2}+2x=$$\frac{1}{3}$，
配方，得$ x^{2}+2x + 1=\frac{1}{3}+1 $，即$ (x + 1)^{2}=$$\frac{4}{3}$，
开方，得$ x + 1=\pm $$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
解得$ x_{1}=$$\frac{2\sqrt{3}}{3}-1$,$x_{2}=$$-\frac{2\sqrt{3}}{3}-1$。

答案： 【解】
(1)配方，得$ x^{2}-4x + 4=9 $，
即$ (x - 2)^{2}=9 $，
开方，得$ x - 2=3 $或$ x - 2=-3 $，
解得$ x_{1}=5,x_{2}=-1 $。
(2)整理，得$ x^{2}+2x=\frac{1}{3} $，
配方，得$ x^{2}+2x + 1=\frac{1}{3}+1 $，即$ (x + 1)^{2}=\frac{4}{3} $，
开方，得$ x + 1=\pm \frac{2\sqrt{3}}{3} $，
解得$ x_{1}=\frac{2\sqrt{3}}{3}-1,x_{2}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}-1 $。

5. 新考法 变形求值法 已知$x^{2}-10x+y^{2}-16y+89= 0$,求$\frac {x}{y}$的值.

答案： 【解】$ x^{2}-10x + y^{2}-16y + 89=0 $，
$ (x^{2}-10x + 25)+(y^{2}-16y + 64)=0 $，
$ (x - 5)^{2}+(y - 8)^{2}=0 $，
$ \therefore x - 5=0,y - 8=0 $，得$ x=5,y=8 $。
$ \therefore \frac{x}{y}=\frac{5}{8} $。

6. 一元二次方程$x(x+1)= 0$的两根分别为$ x_{1}=0,x_{2}=-1 $.

答案： $ x_{1}=0,x_{2}=-1 $

7. 用因式分解法解方程：
(1)$2x(x-1)= 3-3x$；
【解】移项，得$ 2x(x - 1)+3x - 3=0 $，
因式分解，得$ (x - 1)(2x + 3)=0 $，
$ \therefore x - 1=0 $或$ 2x + 3=0 $，
解得$ x_{1}=$1,$x_{2}=$$-\frac{3}{2}$。
(2)$3x(x-2)-x+2= 0$；
【解】$ 3x(x - 2)-x + 2=0 $，
$ 3x(x - 2)-(x - 2)=0 $，
$ (x - 2)(3x - 1)=0 $，
$ \therefore x - 2=0 $或$ 3x - 1=0 $，
解得$ x_{1}=$2,$x_{2}=$$\frac{1}{3}$。
(3)$(x+4)^{2}-5(x+4)= 0$.
【解】$ (x + 4)^{2}-5(x + 4)=0 $，
$ (x + 4)(x + 4 - 5)=0 $，
$ \therefore x + 4=0 $或$ x - 1=0 $。
解得$ x_{1}=$$-4$,$x_{2}=$1。

答案： 【解】
(1)移项，得$ 2x(x - 1)+3x - 3=0 $，
因式分解，得$ (x - 1)(2x + 3)=0 $，
$ \therefore x - 1=0 $或$ 2x + 3=0 $，
解得$ x_{1}=1,x_{2}=-\frac{3}{2} $。
(2)$ 3x(x - 2)-x + 2=0 $，
$ 3x(x - 2)-(x - 2)=0 $，
$ (x - 2)(3x - 1)=0 $，
$ \therefore x - 2=0 $或$ 3x - 1=0 $，
解得$ x_{1}=2,x_{2}=\frac{1}{3} $。
(3)$ (x + 4)^{2}-5(x + 4)=0 $，
$ (x + 4)(x + 4 - 5)=0 $，
$ \therefore x + 4=0 $或$ x - 1=0 $。
解得$ x_{1}=-4,x_{2}=1 $。

8. 母题 教材P42例 用公式法解方程：
(1)$2x^{2}+1= 3x$；
【解】(1)$ 2x^{2}+1=3x $化成一般形式为
$ 2x^{2}-3x + 1=0 $。
这里$ a=$2,$b=$-3,$c=$1，
$ \because \Delta =b^{2}-4ac=9 - 8=1＞0 $，
$ \therefore x=\frac{3\pm 1}{4} $。
$ \therefore x_{1}=$1,$x_{2}=$$\frac{1}{2}$。
(2)$3y^{2}+1= 2\sqrt {3}y$.
【解】(2)整理，得$ 3y^{2}-2\sqrt{3}y + 1=0 $，
这里$ a=$3,$b=$$-2\sqrt{3}$,$c=$1。
$ \because \Delta =b^{2}-4ac=12 - 12=0 $，
$ \therefore y=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3} $。
$ \therefore y_{1}=y_{2}=$$\frac{\sqrt{3}}{3}$。

答案： 【解】
(1)$ 2x^{2}+1=3x $化成一般形式为
$ 2x^{2}-3x + 1=0 $。
这里$ a=2,b=-3,c=1 $，
$ \because \Delta =b^{2}-4ac=9 - 8=1＞0 $，
$ \therefore x=\frac{3\pm 1}{4} $。
$ \therefore x_{1}=1,x_{2}=\frac{1}{2} $。
(2)整理，得$ 3y^{2}-2\sqrt{3}y + 1=0 $，
这里$ a=3,b=-2\sqrt{3},c=1 $。
$ \because \Delta =b^{2}-4ac=12 - 12=0 $，
$ \therefore y=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3} $。
$ \therefore y_{1}=y_{2}=\frac{\sqrt{3}}{3} $。