《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

1. 已知线段a,b,c,d是成比例线段,其中$a= 2cm,b= 3cm,d= 6cm$,则线段c的长为 (C)
A. 1 cm
B. 2 cm
C. 4 cm
D. 9 cm

答案： C

2. 在比例尺为$1:30000$的地图上量得AB两地的图上距离$AB= 5cm$,则AB两地的实际距离为 (B)
A. $1.5×10^{2}m$
B. $1.5×10^{3}m$
C. $1.5×10^{4}m$
D. $1.5×10^{5}m$

答案： B

3. [2024上海松江区月考]如图,已知$AB// CD// EF$,那么下列结论中正确的是 (C)

A. $\frac {CD}{EF}= \frac {AD}{AF}$
B. $\frac {AB}{CD}= \frac {BC}{EC}$
C. $\frac {AD}{BC}= \frac {AF}{BE}$
D. $\frac {CE}{BE}= \frac {AF}{AD}$

答案： C

4. 小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察,他根据当地地形画出了“等高线示意图”,如图所示.若A,B,C三点均在相应的等高线上,且三点在同一直线上,则$\frac {BC}{AB}$的值为 (A)

A. $\frac {1}{2}$
B. $\frac {2}{3}$
C. $\frac {3}{5}$
D. 2

答案： A

5. [2024石家庄二十八中期中]如图,是某名同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法,若图中的虚线相互平行,则点P表示的数是 (C)

A. 1
B. $\sqrt {2}$
C. $\frac {10}{3}$
D. 5

答案： C

6. 如图,AC,BD相交于点O,$AB// DC$,M是AB的中点,$MN// AC$,交BD于点N,若$DO:OB= 1:2,AC= 12$,则MN的长为 (B)

A. 2
B. 4
C. 6
D. 8

答案： B

7. [2023重庆南开中学期中]如图,正方形ABCD的边长为4,E为CD边的中点,G为BC边上一点,连接AE,DG,相交于点F.若$\frac {DF}{FG}= \frac {4}{5}$,则FE的长度是 (A)

A. $\frac {2\sqrt {5}}{9}$
B. $\frac {2\sqrt {3}}{7}$
C. $\frac {1}{2}$
D. $\frac {4}{7}$

答案： A【点拨】作 $FH// BC$，交 $CD$ 于点 $H$，则 $\frac{DH}{HC}=\frac{DF}{FG}=\frac{4}{5}$。
$\because E$ 为 $CD$ 边的中点，
$\therefore DE = 2$，易得 $\frac{HE}{ED}=\frac{1}{9}$。
$\because AD// BC$，$\therefore FH// AD$。$\therefore\frac{FE}{AE}=\frac{HE}{DE}=\frac{1}{9}$。
$\because AE=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=2\sqrt{5}$，
$\therefore FE=\frac{2\sqrt{5}}{9}$。
故选 A。

8. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },AB= 10,BC= 6$,点F是边AB的中点,连接CF,把线段CF沿射线BC方向平移得到DE,点D在AC上,则线段CF在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE的周长和面积分别是 (C)

A. 16,6
B. 18,18
C. 16,12
D. 12,16

答案： C【点拨】由平移的性质可知 $DF// CE$，$DF = CE$，
$\therefore$ 四边形 $CFDE$ 是平行四边形。
在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AB = 10$，$BC = 6$，
$\therefore AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$。
$\because DF// CE$，点 $F$ 是边 $AB$ 的中点，$\angle ACB = 90^{\circ}$，
$\therefore\frac{AD}{AC}=\frac{AF}{AB}=\frac{1}{2}$，$\angle CDF = 180^{\circ}-\angle ACB = 90^{\circ}$，$CF=\frac{1}{2}AB = 5$。
$\therefore$ 点 $D$ 是 $AC$ 的中点。
$\therefore DF$ 是 $Rt\triangle ABC$ 的中位线，$CD=\frac{1}{2}AC = 4$。
$\therefore DF=\frac{1}{2}BC = 3$。
$\therefore$ 四边形 $CFDE$ 的周长为 $2(DF + CF)=2\times(3 + 5)=16$，面积为 $DF\cdot CD = 3\times 4 = 12$。

9. 若$\frac {a}{b}= \frac {1}{2}$,则$\frac {a}{a+b}$的值为$\frac{1}{3}$.

答案： $\frac{1}{3}$

10. 若$\frac {x}{6}= \frac {y}{4}= \frac {z}{3}$(x,y,z均不为0),则$\frac {x+3y}{3y-2z}=$3.

答案： 3【点拨】设 $\frac{x}{6}=\frac{y}{4}=\frac{z}{3}=k(k\neq 0)$，则 $x = 6k$，$y = 4k$，$z = 3k$。$\therefore\frac{x + 3y}{3y - 2z}=\frac{6k + 12k}{12k - 6k}=\frac{18k}{6k}=3$。

11. 如图,直线$l_{1}// l_{2}// l_{3}$,直线a,b与$l_{1},l_{2},l_{3}$分别相交于点A,B,C和点D,E,F.若$\frac {AB}{AC}= \frac {1}{3}$,则$\frac {EF}{DE}= $2.

答案： 2【点拨】将 $\frac{AB}{AC}=\frac{1}{3}$ 转化为 $\frac{AB}{BC}=\frac{1}{2}$ 是解题的关键。

12. 在矩形ABCD中,M为对角线BD的中点,点N在边AD上,且$AN= AB= 1$.当以D,M,N为顶点的三角形是直角三角形时,AD的长为2 或 $\sqrt{2}+1$.

答案： 2 或 $\sqrt{2}+1$【点拨】当 $\angle MND = 90^{\circ}$ 时，如图①。
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形，$\therefore\angle A = 90^{\circ}$。
$\therefore MN// AB$。
$\therefore\frac{AN}{ND}=\frac{BM}{MD}$。
$\because M$ 为对角线 $BD$ 的中点，$\therefore BM = MD$。
$\therefore\frac{AN}{ND}=\frac{BM}{MD}=1$，$\therefore ND = AN = 1$。
$\therefore AD = AN + ND = 2$。
当 $\angle NMD = 90^{\circ}$ 时，连接 $BN$，如图②。
$\because M$ 为对角线 $BD$ 的中点，$\angle NMD = 90^{\circ}$。
$\therefore MN$ 为线段 $BD$ 的垂直平分线。
$\therefore BN = ND$。
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形，$\therefore\angle A = 90^{\circ}$。
又 $\because AN = AB = 1$，
$\therefore BN=\sqrt{AB^{2}+AN^{2}}=\sqrt{2}$。
$\therefore ND=\sqrt{2}$。
$\therefore AD = AN + ND=\sqrt{2}+1$。
综上所述，$AD$ 的长为 2 或 $\sqrt{2}+1$。

13. (12分)已知a,b,c是$△ABC$的三边长,且满足$\frac {a+4}{3}= \frac {b+3}{2}= \frac {c+8}{4},a+b+c= 12$.
(1)试求a,b,c的值;a=5，b=3，c=4
(2)判断$△ABC$的形状.直角三角形

答案： 【解】
(1)$\because\frac{a + 4}{3}=\frac{b + 3}{2}=\frac{c + 8}{4}$，
$\therefore\frac{a + 4 + b + 3 + c + 8}{3 + 2 + 4}=\frac{a + 4}{3}$，即 $\frac{a + b + c + 15}{9}=\frac{a + 4}{3}$。
又 $\because a + b + c = 12$，$\therefore\frac{12 + 15}{9}=\frac{a + 4}{3}$，解得 $a = 5$。
$\therefore\frac{b + 3}{2}=\frac{c + 8}{4}=\frac{5 + 4}{3}=3$，解得 $b = 3$，$c = 4$。
(2)$\because 3^{2}+4^{2}=5^{2}$，即 $b^{2}+c^{2}=a^{2}$，$\therefore\triangle ABC$ 是直角三角形。