《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

10. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,点$D$,$E分别是边BC$,$AC$上的点,且$\angle ADE = \angle B$．
求证：$AB \cdot CE = BD \cdot CD$．

【证明】∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
∵∠ADC为△ABD的外角，
∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠DAB.
又∵∠ADE=∠B，
∴∠BAD=∠CDE. 又∵∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE.
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{BD}{CE}$. ∴AB·CE=BD·CD.

答案： 【证明】
∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
∵∠ADC为△ABD的外角，
∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠DAB.
又
∵∠ADE=∠B，
∴∠BAD=∠CDE. 又
∵∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE.
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{BD}{CE}$.
∴AB·CE=BD·CD.

11. [2024眉山东坡区期末]如图,正方形$ABCD$中,$M为BC$上一点,$F是AM$的中点,$EF \perp AM$,垂足为$F$,交$AD的延长线于点E$,交$DC于点N$．
(1)求证：$\triangle ABM \backsim \triangle EFA$；
(2)若$AB = 12$,$BM = 5$,求$DE$的长．
(1)【证明】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=90°，AD//BC.
∴∠AMB=∠EAF.
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE=90°.
∴∠B=∠AFE. ∴△ABM∽△EFA.
(2)【解】∵∠B=90°，AB=12，BM=5，AB=AD，
∴AM=$\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13$，AD=12.
∵F是AM的中点，∴AF=$\frac{1}{2}AM=6.5$.
∵△ABM∽△EFA，
∴$\frac{BM}{AF}=\frac{AM}{AE}$，即$\frac{5}{6.5}=\frac{13}{AE}$.
∴AE=16.9.
∴DE=AE−AD=4.9.

答案：
(1)【证明】
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=90°，AD//BC.
∴∠AMB=∠EAF.
又
∵EF⊥AM，
∴∠AFE=90°.
∴∠B=∠AFE.
∴△ABM∽△EFA.
(2)【解】
∵∠B=90°，AB=12，BM=5，AB=AD，
∴AM=$\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13$，AD=12.
∵F是AM的中点，
∴AF=$\frac{1}{2}AM=6.5$.
∵△ABM∽△EFA，
∴$\frac{BM}{AF}=\frac{AM}{AE}$，即$\frac{5}{6.5}=\frac{13}{AE}$.
∴AE=16.9.
∴DE=AE−AD=4.9.

12. [2024成都青羊区期中]如图,在矩形$ABCD$中,点$E$,$F分别在边AD$,$CD$上($F不与C$重合),且$\angle BEF = 90^{\circ}$．
(1)$\triangle ABE与\triangle DEF$相似吗？为什么？
答：相似。理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°.
∵∠BEF=90°，
∴∠DEF+∠AEB=∠ABE+∠AEB=90°.
∴∠ABE=∠DEF.
∴△ABE∽△DEF.
(2)当点E位于AD上何处时,$\triangle ABE$,$\triangle BEF$,$\triangle DEF$这三个三角形都相似？
答：当点E位于AD的中点处时，$\triangle ABE$,$\triangle BEF$,$\triangle DEF$这三个三角形都相似.
(3)当$\triangle ABE$,$\triangle BEF$,$\triangle DEF$,$\triangle CBF$这四个三角形都相似时,求$\frac{DF}{CF}及\frac{AB}{AD}$的值．
答：$\frac{DF}{CF}=$$\frac{1}{2}$，$\frac{AB}{AD}=$$\frac{\sqrt{3}}{2}$.

答案： 【解】
(1)△ABE与△DEF相似. 理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°.
∵∠BEF=90°，
∴∠DEF+∠AEB=∠ABE+∠AEB=90°.
∴∠ABE=∠DEF.
∴△ABE∽△DEF.
(2)当点E位于AD的中点处时，△ABE，△BEF，△DEF这三个三角形都相似.
作EG⊥BF于G.
∵△EBF∽△ABE，
∴∠ABE=∠EBF.
又
∵∠A=90°，EG⊥BF，
∴EG=EA.
同理可得ED=EG.
∴AE=ED，
即E是AD的中点.
(3)当△CBF∽△EBF∽△ABE∽△DEF时，∠CBF=∠EBF=∠ABE=∠DEF=30°.
∴易得AE=$\frac{\sqrt{3}}{3}AB$，EF=$\frac{\sqrt{3}}{3}BE$.
由
(2)知AD=2AE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}AB$，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AB}{\frac{2\sqrt{3}}{3}AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
∵易得$\frac{DF}{AE}=\frac{EF}{BE}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴DF=$\frac{\sqrt{3}}{3}AE=\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}AB=\frac{1}{3}AB$.
∵在矩形ABCD中，CD=AB，
∴DF=$\frac{1}{3}CD$.
∴$\frac{DF}{CF}=\frac{1}{2}$.