《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

12. 已知实数a是一元二次方程$x^{2}-2024x+1= 0$的根,求代数式$a^{2}-2023a+\frac{2024}{a^{2}+1}$的值.

答案： $2023$

13. 新考法·阅读类比法 请阅读下列材料:
问题:已知方程$x^{2}+x-1= 0$,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍.
解:设所求方程的根为y,则$y= 2x$,所以$x= \frac{y}{2}$,把$x= \frac{y}{2}$代入已知方程,得$(\frac{y}{2})^{2}+\frac{y}{2}-1= 0$.化简,得$y^{2}+2y-4= 0$,故所求方程为$y^{2}+2y-4= 0$.
这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”.
请用材料提供的“换根法”求新方程(要求把所求方程化为一般形式).
(1)已知方程$x^{2}+3x-2= 0$,求一个一元二次方程,使它的根分别为已知方程根的相反数;
(2)已知关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$有两个不等于零的实数根,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的倒数.
(1)所求方程为$y^{2}-3y - 2 = 0$；
(2)所求方程为$cy^{2}+by + a = 0(c\neq0)$。

答案：
(1)所求方程为$y^{2}-3y - 2 = 0$；
(2)所求方程为$cy^{2}+by + a = 0(c\neq0)$。