《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

1. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$AB\perp AC$,D为BC的中点.$DE\perp BC$交AC于点F,交BA延长线于点E.求证:$AD^{2}= DE\cdot DF$.

【证明】∵AB⊥AC，D为BC的中点，
∴AD=$\frac{1}{2}$BC=DC。
∴∠DAC=∠C。
∵AB⊥AC，DE⊥BC，
∴∠C+∠B=90°，∠E+∠B=90°。
∴∠C=∠E。∴∠DAC=∠E。
又∵∠ADE=∠FDA，∴△DAE∽△DFA。
∴$\frac{DE}{AD}$=$\frac{AD}{DF}$。
∴AD²=DE·DF。

答案： 【证明】
∵AB⊥AC，D为BC的中点，
∴AD=$\frac{1}{2}$BC=DC。
∴∠DAC=∠C。
∵AB⊥AC，DE⊥BC，
∴∠C+∠B=90°，∠E+∠B=90°。
∴∠C=∠E。
∴∠DAC=∠E。
又
∵∠ADE=∠FDA，
∴△DAE∽△DFA。
∴$\frac{DE}{AD}$=$\frac{AD}{DF}$。
∴AD²=DE·DF。

2. [2024合肥包河区期中]如图,$AB// CD$,AD与BC相交于点E,$\angle A= \angle CBD$.
(1)求证:$CD^{2}= BC\cdot CE$;
(2)若$CD= 1$,$BD= 2$,$AB= 3$,求DE的长.

(1)【证明】∵AB//CD，∴∠A=∠ADC。
又∵∠A=∠CBD，∴∠ADC=∠CBD。
又∵∠C=∠C，∴△CDE∽△CBD。
∴$\frac{CD}{BC}$=$\frac{CE}{CD}$。
∴CD²=BC·CE。
(2)【解】∵AB//CD，∴∠EAB=∠EDC，∠EBA=∠ECD。∴△CDE∽△BAE。
∴$\frac{CD}{AB}$=$\frac{CE}{BE}$。
∵CD=1，AB=3，∴$\frac{CE}{BE}$=$\frac{1}{3}$。
设CE=x，则BE=3x，∴BC=4x。
∵CD²=BC·CE，∴1=4x·x，解得x=$\frac{1}{2}$(负值已舍去)。
∴CE=$\frac{1}{2}$。
∵△CDE∽△CBD，∴$\frac{DE}{BD}$=$\frac{CE}{CD}$。
∴$\frac{DE}{2}$=$\frac{\frac{1}{2}}{1}$，解得DE=1。

答案：
(1)【证明】
∵AB//CD，
∴∠A=∠ADC。
又
∵∠A=∠CBD，
∴∠ADC=∠CBD。
又
∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CBD。
∴$\frac{CD}{BC}$=$\frac{CE}{CD}$。
∴CD²=BC·CE。
(2)【解】
∵AB//CD，
∴∠EAB=∠EDC，∠EBA=∠ECD。
∴△CDE∽△BAE。
∴$\frac{CD}{AB}$=$\frac{CE}{BE}$。
∵CD=1，AB=3，
∴$\frac{CE}{BE}$=$\frac{1}{3}$。
设CE=x，则BE=3x，
∴BC=4x。
∵CD²=BC·CE，
∴1=4x·x，解得x=$\frac{1}{2}$(负值已舍去)。
∴CE=$\frac{1}{2}$。
∵△CDE∽△CBD，
∴$\frac{DE}{BD}$=$\frac{CE}{CD}$。
∴$\frac{DE}{2}$=$\frac{\frac{1}{2}}{1}$，解得DE=1。

3. [2024济南历下区一模]如图,在矩形ABCD中,$AE\perp BD$于点E,点P是边AD上一点.若$PE\perp EC$,求证:$AE\cdot AB= DE\cdot AP$.

答案： 【证明】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，AB=CD。
∵AE⊥BD，PE⊥EC，
∴∠AED=∠PEC=90°。
∴∠AEP=∠DEC。
∵∠EAD+∠ADE=90°，∠ADE+∠CDE=90°，
∴∠EAP=∠EDC。
∴△AEP∽△DEC。
∴$\frac{AE}{DE}$=$\frac{AP}{DC}$。
∴AE·DC=DE·AP。
又
∵AB=CD，
∴AE·AB=DE·AP。

4. 已知:如图,等腰三角形ABC中,$AB= AC$,$AD\perp BC$于D,$CG// AB$,BG分别交AD,AC于E,F.求证:$BE^{2}= EF\cdot EG$.

答案：
【证明】连接CE，如图所示
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠ABC=∠ACB，AD是BC的垂直平分线

∴BE=CE。
∴∠EBC=∠ECB。
又
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC−∠EBC=∠ACB−∠ECB，
即∠ABE=∠ACE，
又
∵CG//AB，
∴∠ABE=∠CGF。
∴∠CGF=∠FCE。
又
∵∠FEC=∠CEG，
∴△CEF∽△GEC，
∴CE:EG=EF:CE，
∴CE²=EF·EG。
又
∵CE=BE，
∴BE²=EF·EG。