《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

10.[2023揭阳揭东区期中] 已知$a^2 - 2a + b^2 + 4b + 5 = 0$,则$(a + b)^{2023}$的值为______-1.

答案： -1 【点拨】根据完全平方公式以及非负数的性质，可得$ a - 1=0 $，$ b + 2=0 $，从而得到$ a=1 $，$ b=-2 $，再代入，即可求解。

11.若关于$x的一元二次方程ax^2 = b(ab ＞ 0)的两个根分别是m - 1和2m + 4$,则$\frac{b}{a} = $4.

答案： 4 【点拨】利用直接开平方法得到$ x=\pm \sqrt{\frac{b}{a}} $，得到方程的两个根互为相反数，所以$ m - 1 + 2m + 4=0 $，解得$ m=-1 $，则方程的两个根分别是-2与2，则有$ \sqrt{\frac{b}{a}}=2 $，然后两边平方得到$ \frac{b}{a}=4 $。

12.[2023靖江模拟] 已知$x,y$为实数,且满足$x^2 - xy + y^2 = 2$,记$W = x^2 + xy + y^2的最大值为M$,最小值为$m$,则$M + m = $$\frac{20}{3}$.

答案： $ \frac{20}{3} $ 【点拨】把已知方程$ x^{2}-xy + y^{2}=2 $，化成$ x^{2}+y^{2}=xy + 2 $，$ xy=x^{2}+y^{2}-2 $，所以$ W=2xy + 2 $，根据配方法的应用，确定其最大值和最小值，从而得到$ M $，$ m $的值，即可得解。

13.新趋势 学科内综合 已知三角形两边长分别是3和5,第三边的长为一元二次方程$x^2 - 7x + 12 = 0$的一个根,则这个三角形的周长为11或12.

答案： 11或12 【点拨】求出方程的解，根据三角形三边关系判断是否能构成三角形，再求出即可。

14.用配方法解方程：$x^2 - 4\sqrt{2}x - 2 = 0$.

答案： 【解】$ x^{2}-4\sqrt{2}x - 2=0 $。
$ (x - 2\sqrt{2})^{2}-2 - 8=0 $。
$ (x - 2\sqrt{2})^{2}=10 $。
$ x - 2\sqrt{2}=\sqrt{10} $或$ x - 2\sqrt{2}=-\sqrt{10} $。
所以$ x_{1}=2\sqrt{2}+\sqrt{10} $，$ x_{2}=2\sqrt{2}-\sqrt{10} $。

15.[2024宜昌夷陵中学月考] 把关于$x的一元二次方程x^2 - 3x + p = 0$配方,得$(x + m)^2 = \frac{1}{2}$.
(1)求$m$和$p$的值；$m=$$-\frac{3}{2}$，$p=$$\frac{7}{4}$
(2)求出此时方程的解.$x_{1}=$$\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$，$x_{2}=$$\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}$

答案： 【解】
(1)移项，得$ x^{2}-3x=-p $，
配方，得$ (x - \frac{3}{2})^{2}=-p + \frac{9}{4} $。
由$ (x - \frac{3}{2})^{2}=-p + \frac{9}{4} $与$ (x + m)^{2}=\frac{1}{2} $是同一个方程，
得$ m=-\frac{3}{2} $，$ -p + \frac{9}{4}=\frac{1}{2} $。
解得$ m=-\frac{3}{2} $，$ p=\frac{7}{4} $。
(2)$ (x - \frac{3}{2})^{2}=\frac{1}{2} $，
开方，得$ x - \frac{3}{2}=\pm \frac{\sqrt{2}}{2} $，
所以$ x_{1}=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} $，$ x_{2}=\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} $。

16.新考法 阅读类比法 请阅读下列材料,并完成相应的任务.
如果关于$x的一元二次方程ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0)$有一个根是1,那么我们称这个方程为“方正方程”.
(1)判断一元二次方程$3x^2 - 5x + 2 = 0$是否为“方正方程”,请说明理由；
该方程是“方正方程”，理由如下：把$ x=1 $代入$ 3x^{2}-5x + 2=0 $，得左边$ =3×1^{2}-5×1 + 2=0 $，右边$ =0 $。$ \therefore $左边$ =$右边。$ \therefore x=1 $是一元二次方程$ 3x^{2}-5x + 2=0 $的根。$ \therefore $一元二次方程$ 3x^{2}-5x + 2=0 $是“方正方程”。
(2)已知关于$x的一元二次方程5x^2 - bx + c = 0$是“方正方程”,求$b^2 - 2c$的最小值.
由题意，得$ 5 - b + c=0 $，$ \therefore b=5 + c $。$ \therefore b^{2}-2c=(5 + c)^{2}-2c $，$ =c^{2}+8c + 25 $，$ =(c + 4)^{2}+9 $。$ \because (c + 4)^{2}\geq 0 $，$ \therefore (c + 4)^{2}+9\geq 9 $。$ \therefore b^{2}-2c $的最小值为9。

答案： 【解】
(1)该方程是“方正方程”，理由如下：
把$ x=1 $代入$ 3x^{2}-5x + 2=0 $，得
左边$ =3×1^{2}-5×1 + 2=0 $，右边$ =0 $。
$ \therefore $左边$ =$右边。
$ \therefore x=1 $是一元二次方程$ 3x^{2}-5x + 2=0 $的根。
$ \therefore $一元二次方程$ 3x^{2}-5x + 2=0 $是“方正方程”。
(2)由题意，得$ 5 - b + c=0 $，$ \therefore b=5 + c $。
$ \therefore b^{2}-2c=(5 + c)^{2}-2c $，
$ =c^{2}+8c + 25 $
$ =(c + 4)^{2}+9 $。
$ \because (c + 4)^{2}\geq 0 $，
$ \therefore (c + 4)^{2}+9\geq 9 $。
$ \therefore b^{2}-2c $的最小值为9。