《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

8. 如图,$AB:AD= BC:DE= AC:AE.$
(1)求证:$∠BAD= ∠CAE;$
证明：∵AB:AD = BC:DE = AC:AE，
∴△ABC∽△ADE.
∴∠BAC = ∠DAE.
∴∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，
即∠BAD = ∠CAE.
(2)若$AB= 6,BD= 3,AC= 4$,求CE的长.
解：∵$\frac{AB}{AD}$ = $\frac{AC}{AE}$，∴$\frac{AB}{AC}$ = $\frac{AD}{AE}$.
又 ∵∠BAD = ∠CAE，
∴△BAD∽△CAE.
∴$\frac{AB}{AC}$ = $\frac{BD}{CE}$，即$\frac{6}{4}$ = $\frac{3}{CE}$. ∴CE = 2.

答案：
(1) 【证明】
∵AB:AD = BC:DE = AC:AE，
∴△ABC∽△ADE.
∴∠BAC = ∠DAE.
∴∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，
即∠BAD = ∠CAE.
(2) 【解】
∵$\frac{AB}{AD}$ = $\frac{AC}{AE}$，
∴$\frac{AB}{AC}$ = $\frac{AD}{AE}$.
又
∵∠BAD = ∠CAE，
∴△BAD∽△CAE.
∴$\frac{AB}{AC}$ = $\frac{BD}{CE}$，即$\frac{6}{4}$ = $\frac{3}{CE}$.
∴CE = 2.

9. [2023北京昌平区期中]如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,$△ABC和△DEF$的顶点都在格点上,$P_{1},P_{2},P_{3},P_{4},P_{5}是△DEF$边上的5个格点,请按要求完成下列各题:
(1)判断$△ABC和△DEF$是否相似,并说明理由;
(2)画一个三角形,它的三个顶点为$P_{1},P_{2},P_{3},P_{4},P_{5}$中的3个格点,并且与$△ABC$相似.(要求:不写作法与证明)

答案：
【解】
(1)△ABC和△DEF相似.理由如下：
由勾股定理可得AB = $\sqrt{4²+2²}$ = 2$\sqrt{5}$，
AC = $\sqrt{1²+2²}$ = $\sqrt{5}$，
BC = $\sqrt{3²+4²}$ = 5，
DF = $\sqrt{2²+2²}$ = 2$\sqrt{2}$，
DE = $\sqrt{4²+4²}$ = 4$\sqrt{2}$，
FE = $\sqrt{2²+6²}$ = 2$\sqrt{10}$，
∴$\frac{AC}{DF}$ = $\frac{AB}{DE}$ = $\frac{BC}{FE}$ = $\frac{\sqrt{10}}{4}$.
∴△ABC和△DEF相似.
(2) 如图所示，△P_2P_4P_5即为所求.

10. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ }$,点D在AC上.
(1)已知$AC= 4,BC= 2,∠CBD= ∠A$,求BD的长;$\sqrt{5}$
(2)取AB,BD的中点E,F,连接CE,EF,FC,求证:$△CEF\backsim △BAD.$
证明：∵E，F分别是Rt△ABC，Rt△BCD斜边上的中点，
∴CF = $\frac{1}{2}$BD，CE = $\frac{1}{2}$AB，EF = $\frac{1}{2}$AD.
∴$\frac{CF}{BD}$ = $\frac{EF}{AD}$ = $\frac{CE}{AB}$ = $\frac{1}{2}$.
∴△CEF∽△BAD.

答案：
(1) 【解】
∵∠CBD = ∠A，∠BCD = ∠ACB，
∴△CBD∽△CAB.
∴$\frac{CD}{CB}$ = $\frac{CB}{CA}$，即$\frac{CD}{2}$ = $\frac{2}{4}$.
∴CD = 1.
∴BD = $\sqrt{CD²+BC²}$ = $\sqrt{5}$.
(2) 【证明】
∵E，F分别是Rt△ABC，Rt△BCD斜边上的中点，
∴CF = $\frac{1}{2}$BD，CE = $\frac{1}{2}$AB，EF = $\frac{1}{2}$AD.
∴$\frac{CF}{BD}$ = $\frac{EF}{AD}$ = $\frac{CE}{AB}$ = $\frac{1}{2}$.
∴△CEF∽△BAD.