《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

1. [2023乐山]如图,菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,E为边BC的中点,连接OE.若AC= 6,BD= 8,则OE= (B)

A. 2
B. $\frac{5}{2}$
C. 3
D. 4

答案： B

2. 将两个完全相同的菱形按如图方式放置,若∠BAD= α,∠CBE= β,则β= (D)

A. $45^{\circ}+\frac{1}{2}\alpha$
B. $45^{\circ}+\frac{3}{2}\alpha$
C. $90^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha$
D. $90^{\circ}-\frac{3}{2}\alpha$

答案： D

3. 如图,四边形ABCD是平行四边形,BM//DN,且分别交对角线AC于点M,N,连接MD,BN.
(1)求证：∠DMN= ∠BNM；
(2)若∠BAC= ∠DAC,求证：四边形BMDN是菱形.

答案： [证明]
(1)连接BD,交AC于点O,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD.
∵BM//DN,
∴∠MBO=∠NDO.
　又
∵∠BOM=∠DON,
∴△BOM≌△DON(ASA).
∴BM=DN.
∴四边形BMDN为平行四边形.
∴BN//DM.
∴∠DMN=∠BNM.
(2)
∵四边形ABCD是平行四边形，
　
∴BC//AD.
　
∴∠BCA=∠DAC.
∵∠BAC=∠DAC,
　
∴∠BAC=∠BCA.
　
∴AB=BC;
　
∴四边形ABCD是菱形.
　
∴AC⊥BD.
　
∴MN⊥BD.
　
∴平行四边形BMDN是菱形.

4. 母题教材P19习题T2如图,在矩形ABCD中,AE⊥BD,垂足为E,∠DAE：∠BAE= 1：3,则∠CAE的度数(C)

A. $22.5^{\circ}$
B. $30^{\circ}$
C. $45^{\circ}$
D. $67.5^{\circ}$

答案： C

5. 新考法折叠法如图,有一张矩形纸片ABCD.先对折矩形ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展平.再一次折叠纸片,使点A落在EF上,并使折痕经过点B,得到折痕BM,同时得到线段BN,MN.观察所得的线段,若AE= 1,则MN= ($\frac{2\sqrt{3}}{3}$)

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
B. 1
C. $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
D. 2

答案： C　[点拨]由题意知AE=BE=1,∠AEF=∠BEN=90°.
∴AB=2AE=2.
∵折叠纸片,使点A落在EF上，并使折痕经过点B,
∴BN=AB=2,∠ABM=∠NBM,∠BNM=∠A=90°,
∴BE=$\frac{1}{2}$BN,
∴∠BNE=30°,
∴∠EBN=60°,
∴∠ABM=∠MBN=30°,
∴BM=2MN.
　在Rt△BNM中,
∵BM²=MN²+BN²,
∴4MN²=MN²+2².
∴MN=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$(负值已舍去).

6. [2024长沙模拟]如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DE//AC,且DE= $\frac{1}{2}$AC,连接CE.
(1)求证：四边形OCED为矩形；
证明：∵四边形ABCD是菱形，
　∴AC⊥BD,AO=OC=$\frac{1}{2}$AC.
　∴∠DOC=90°.
　∵DE//AC,DE=$\frac{1}{2}$AC,
　∴DE=OC,DE//OC.
　∴四边形OCED是平行四边形.
　又∵∠DOC=90°,
　∴平行四边形OCED是矩形.
(2)若DB= 6,AC= 8,求菱形ABCD的面积.
解：∵四边形ABCD是菱形,DB=6,AC=8,
　　∴菱形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$AC·BD=$\frac{1}{2}$×8×6=24.

答案：
(1)[证明]
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,AO=OC=$\frac{1}{2}$AC.
∴∠DOC=90°.
∵DE//AC,DE=$\frac{1}{2}$AC,
∴DE=OC,DE//OC.
∴四边形OCED是平行四边形.
　又
∵∠DOC=90°,
∴平行四边形OCED是矩形.
(2)[解]
∵四边形ABCD是菱形,DB=6,AC=8,
　
∴菱形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$AC·BD=$\frac{1}{2}$×8×6=24.