《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

13. (6分)母题 教材P32随堂练习T2 将方程$(x-1)(2x-3)= x(3x-1)$化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.

答案： 【解】一般形式为$ x^{2}+4x - 3=0 $，二次项系数、一
次项系数和常数项分别是1，4，-3.

14. (10分)[2024清华附中月考]用适当的方法解下列方程：
(1)$x^{2}+2x-5= 0$；
解：$ x^{2}+2x - 5=0 $。移项，得$ x^{2}+2x = 5 $。配方，得$ x^{2}+2x + 1=5 + 1 $，即$ (x + 1)^{2}=6 $。$ \therefore x + 1=\pm \sqrt{6} $，即$ x_{1}=-1 + \sqrt{6},x_{2}=-1 - \sqrt{6} $。
(2)$(x-2)^{2}+x(x-2)= 0$。
解：$ (x - 2)^{2}+x(x - 2)=0 $。因式分解，得$ (x - 2)(x - 2 + x)=0 $，即$ (x - 2)(2x - 2)=0 $。$ \therefore x - 2=0 $或$ 2x - 2=0 $，即$ x_{1}=2,x_{2}=1 $。

答案： 【解】
(1)$ x^{2}+2x - 5=0 $。
移项，得$ x^{2}+2x = 5 $。
配方，得$ x^{2}+2x + 1=5 + 1 $，即$ (x + 1)^{2}=6 $。
$ \therefore x + 1=\pm \sqrt{6} $，即$ x_{1}=-1 + \sqrt{6},x_{2}=-1 - \sqrt{6} $。
(2)$ (x - 2)^{2}+x(x - 2)=0 $。
因式分解，得$ (x - 2)(x - 2 + x)=0 $，
即$ (x - 2)(2x - 2)=0 $。
$ \therefore x - 2=0 $或$ 2x - 2=0 $，即$ x_{1}=2,x_{2}=1 $。

15. (10分)已知关于$x的一元二次方程x^{2}+2(k-3)x+k^{2}-9= 0$有两个不相等的实数根.
(1)求实数$k$的取值范围.
(2)$0$可能是方程的一个根吗？若可能,请求出它的另一个根；若不可能,请说明理由.

答案： 【解】
(1)由题意可知$ \Delta =b^{2}-4ac=[2(k - 3)]^{2}- $
$ 4(k^{2}-9)=-24k + 72＞0 $，$ \therefore k＜3 $。
(2)0可能是方程的一个根. 当$ x = 0 $时，$ k^{2}-9=0 $，
解得$ k_{1}=3 $(不合题意，舍去)，$ k_{2}=-3 $。
故原方程化为$ x^{2}-12x = 0 $，解得$ x_{1}=12,x_{2}=0 $。
$ \therefore $它的另一个根为12.

16. (10分)[2024北京四中模拟]已知关于$x的方程x^{2}-(m-3)x+m-4= 0$.
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根中有且仅有一个正根,求$m$的取值范围.

答案：
(1)【证明】$ \Delta =(m - 3)^{2}-4×1×(m - 4)=(m - $
$ 5)^{2}\geq 0 $。
当$ m = 5 $时，$ \Delta = 0 $，则方程有两个相等的实数根；
当$ m\neq 5 $时，$ \Delta ＞ 0 $，则方程有两个不相等的实数根.
$ \therefore $该方程总有两个实数根.
(2)【解】由
(1)知$ \Delta =(m - 5)^{2} $，
$ \therefore x_{1}=\frac{m - 3+\sqrt{(m - 5)^{2}}}{2},x_{2}=\frac{m - 3-\sqrt{(m - 5)^{2}}}{2} $。
当$ m - 5＜0 $，即$ m＜5 $时，$ x_{1}=\frac{m - 3 - m + 5}{2}=1＞0 $。
$ \because $该方程的两个实数根中有且仅有一个正根，
$ \therefore x_{2}=\frac{m - 3 + m - 5}{2}\leq 0 $，解得$ m\leq 4 $。
当$ m - 5\geq 0 $，即$ m\geq 5 $时，$ x_{2}=\frac{m - 3 - m + 5}{2}=1＞0 $。
$ \because $该方程的两个实数根中有且仅有一个正根，
$ \therefore x_{1}=\frac{m - 3 + m - 5}{2}\leq 0 $，解得$ m\leq 4 $，与$ m\geq 5 $矛盾.
综上所述，$ m $的取值范围是$ m\leq 4 $。

17. (12分)新考法·归纳法 2023·安徽 【观察思考】如图.【规律发现】请用含$n$的式子填空：(1)第$n$个图案中“◎”的个数为3n；(2)第1个图案中“★”的个数可表示为$\frac {1×2}{2}$,第2个图案中“★”的个数可表示为$\frac {2×3}{2}$,第3个图案中“★”的个数可表示为$\frac {3×4}{2}$,第4个图案中“★”的个数可表示为$\frac {4×5}{2}$,…第$n$个图案中“★”的个数可表示为$\frac{n(n + 1)}{2}$.【规律应用】(3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律,求正整数$n$,使得连续的正整数之和$1+2+3+… +n$等于第$n$个图案中“◎”的个数的2倍.

答案： 【解】
(1)$ 3n $
(2)$ \frac{n(n + 1)}{2} $
(3)由题意，得$ \frac{n(n + 1)}{2}=2×3n $，
解得$ n = 11 $或$ n = 0 $(不符合题意，舍去).
$ \therefore $正整数$ n $的值为11.