《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

1. [2024平顶山模拟]下列选项错误的是(D)
A. 平行四边形的对角线互相平分
B. 矩形的对角线相等
C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
D. 对角线相等的四边形是矩形

答案： D

2. 母题教材P19习题T2如图,在矩形ABCD中,AE⊥BD,垂足为E,∠DAE= 3∠BAE,则∠CBD等于(A)

A. 22.5°
B. 30°
C. 45°
D. 60°

答案： A

3. 如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,若DE垂直平分OC,且OC= 2,则DE的长度为(C)

A. 1
B. $\sqrt{2}$
C. $\sqrt{3}$
D. 2

答案： C

4. 情境题周末游玩某儿童乐园摩天轮的正面示意图如图所示,若每个舱看作一个点,任意选择四个点,则以这四个点为顶点的四边形是矩形的有(C)

A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： C

5. 如图,在平行四边形ABCD中,连接BD,E为线段AD的中点,延长BE与CD的延长线交于点F,连接AF,∠BDF= 90°．
(1)求证：四边形ABDF是矩形；
(2)若AD= 5,DF= 3,求四边形ABCF的面积S．

(1)【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA//CD.
∴∠BAE=∠FDE.
∵点E是AD的中点，
∴AE=DE.
在△BEA和△FED中，
$\left\{ \begin{array} { l } { \angle B A E = \angle F D E, } \\ { A E = D E, } \\ { \angle B E A = \angle F E D, } \end{array} \right.$
∴△BEA≌△FED(ASA).
∴EF=EB.
又∵AE=DE，
∴四边形ABDF是平行四边形.
又∵∠BDF=90°，
∴四边形ABDF是矩形.
(2)【解】由(1)得四边形ABDF是矩形，
∴∠AFD=90°,AB=DF=3,AF=BD，
∴AF=$\sqrt{AD^{2}-DF^{2}}$=$\sqrt{5^{2}-3^{2}}$=4.
∴S_{矩形ABDF}=DF·AF=3×4=12,BD=AF=4.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=3.
∵∠BDF=90°,∴∠BDC=90°.
∴$S_{△BCD}$=$\frac{1}{2}$BD·CD=$\frac{1}{2}$×4×3=6.
∴四边形ABCF的面积S=$S_{矩形ABDF}+S_{△BCD}$=12+6=18.

答案：
(1)【证明】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA//CD.
∴∠BAE=∠FDE.
∵点E是AD的中点，
∴AE=DE.
在△BEA和△FED中，
$\left\{ \begin{array} { l } { \angle B A E = \angle F D E, } \\ { A E = D E, } \\ { \angle B E A = \angle F E D, } \end{array} \right.$
∴△BEA≌△FED(ASA).
∴EF=EB.
又
∵AE=DE，
∴四边形ABDF是平行四边形.
又
∵∠BDF=90°，
∴四边形ABDF是矩形.
(2)【解】由
(1)得四边形ABDF是矩形，
∴∠AFD=90°,AB=DF=3,AF=BD，
∴AF=$\sqrt{AD^{2}-DF^{2}}$=$\sqrt{5^{2}-3^{2}}$=4.
∴S_{矩形ABDF}=DF·AF=3×4=12,BD=AF=4.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=3.
∵∠BDF=90°,
∴∠BDC=90°.
∴$S_{△BCD}$=$\frac{1}{2}$BD·CD=$\frac{1}{2}$×4×3=6.
∴四边形ABCF的面积S=$S_{矩形ABDF}+S_{△BCD}$=12+6=18.

6. [2023沧州期末]如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,BC= 8,AC= 6,P为边AB上一动点(P不与B,A重合),PE⊥AC于E,PF⊥BC于F,M为EF的中点,则CM的取值范围是(A)

A. $\frac{12}{5}\leqslant CM＜4$
B. $3\leqslant CM＜\frac{24}{5}$
C. $\frac{12}{5}\leqslant CM＜3$
D. $\frac{24}{5}\leqslant CM＜6$

答案： A

7. 如图,在矩形ABCD中,E是边AD上一点,F,G分别是BE,CE的中点,连接AF,DG,FG,若AF= 3,DG= 4,FG= 5,则矩形ABCD的面积为(D)

A. 12
B. 24
C. 36
D. 48

答案： D

8. 新考法折叠法如图,将矩形ABCD的四个角向内翻折后,恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH,EH= 6,EF= 8,下列结论：

①∠HEF= 90°；②△AEH≌△CGF；③AD= HF；④FE= 2AE；⑤AB= 9.6．
其中正确结论的个数是(4)
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

答案： C 【点拨】
∵将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，
∴EA=EM,BE=EM,∠AEH=∠HEM,∠BEF=∠FEM,∠EMH=∠A=90°,∠C=90°.
∴AB=AE+EB=2EM.
∵∠AEH+∠HEM+∠BEF+∠FEM=180°,
∴∠HEF=∠HEM+∠FEM=$\frac{1}{2}$×180°=90°.故①正确；
同理，∠EFG=∠FGH=90°,
∴四边形EFGH是矩形.
∴EH=GF.
易知AB=2AE,CD=2CG,AB=CD，
∴AE=CG.
又
∵∠A=∠C=90°,
∴Rt△AEH≌Rt△CGF(HL).故②正确；
∴AH=CF.
由翻折可知，CF=NF,DH=HN，
∴AH=CF=NF.
∴AD=AH+DH=NF+HN=HF.故③正确；
∵EH=6,EF=8，
∴HF=$\sqrt{EH^{2}+EF^{2}}$=10.
∵EM·HF=EH·EF，
∴EM=$\frac{EH·EF}{HF}$=$\frac{6×8}{10}$=4.8.
∴AB=2×4.8=9.6.故⑤正确；
∵EF=8,2AE=AB=9.6，
∴EF≠2AE,故④错误.
综上所述，正确的结论是①②③⑤，共4个.