《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

1. 母题 教材P93习题T3 如图,$\triangle ADE \backsim \triangle ACB$,且$\angle ADE = \angle C$,则$AD:AC$等于(B)

A. $AE:AC$
B. $DE:BC$
C. $AE:BC$
D. $DE:AB$

答案： B

2. [2023宁波鄞州区期中]下列说法中一定正确的是(B)
A. 两个等腰三角形相似
B. 分别有一个内角是$30^{\circ}$的两个直角三角形相似
C. 两个直角三角形相似
D. 分别有一个锐角是$30^{\circ}$的两个等腰三角形相似

答案： B

3. 如图,在$\triangle ABC$中,$DE // BC$,$\frac{AD}{DB} = \frac{1}{2}$,$DE = 4$,则$BC$的长是(D)

A. 8
B. 10
C. 11
D. 12

答案： D

4. [2024唐山路南区期末]如图,在$\triangle ABC$纸片中,$\angle A = 76^{\circ}$,$\angle B = 34^{\circ}$,将$\triangle ABC$纸片沿某处剪开,下列四种方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是(C)


A. ①②
B. ②④
C. ①③
D. ③④

答案： C

5. 如图,$E为平行四边形ABCD的边CB$的延长线上一点,$DE交AB于点F$,则图中与$\triangle ADF$相似的三角形共有(B)

A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： B

6. [2023宿迁宿城区期末]如图,在$\triangle ABC$中,$D为BC$上一点,$\angle BAD = \angle C$．
(1)求证：$\triangle ABD \backsim \triangle CBA$；
证明：∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，∴△ABD∽△CBA.
(2)若$AB = 8$,$BD = 4$,求$CD$的长．
解：设DC=x.∵△ABD∽△CBA，∴$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}$.∴$\frac{AB}{BD}=\frac{BC}{AB}$.∴$\frac{8}{4}=\frac{4+x}{8}$，解得x=12，即CD=12.

答案：
(1)【证明】
∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBA.
(2)【解】设DC=x.
∵△ABD∽△CBA，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}$.
∴$\frac{AB}{BD}=\frac{BC}{AB}$.
∴$\frac{8}{4}=\frac{4+x}{8}$，
解得x=12，
即CD=12.

7. 若$\triangle ABC与\triangle DEF$相似,$\angle A = 50^{\circ}$,$\angle B = 70^{\circ}$,$\angle D = 60^{\circ}$,则$\angle E$的度数可以是(D)
A. $50^{\circ}$
B. $70^{\circ}$
C. $60^{\circ}$
D. $50^{\circ}或70^{\circ}$

答案： D 【点拨】由于对应关系没有确定，所以由已知可得∠E的对应角可能为∠A或∠B，然后根据相似三角形的性质得到∠E的度数.

8. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB ＜ AC$,将$\triangle ABC以点A为中心逆时针旋转得到\triangle ADE$,点$D在BC$边上,$DE交AC于点F$．下列结论：
①$\triangle AFE \backsim \triangle DFC$；
②$DA平分\angle BDE$；
③$\angle CDF = \angle BAD$．
其中所有正确结论的序号是(①②③)
A. ①②
B. ②③
C. ①③
D. ①②③

答案： D 【点拨】
∵将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，∠B=∠ADE，AB=AD，∠E=∠C.
∴∠B=∠ADB.
∴∠ADE=∠ADB.
∴DA平分∠BDE.
∴②符合题意；
∵∠AFE=∠DFC，∠E=∠C，
∴△AFE∽△DFC.
∴①符合题意；
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
即∠BAD=∠FAE.
∵△AFE∽△DFC，
∴∠FAE=∠CDF.
∴∠BAD=∠CDF.
∴③符合题意；
故选D.

9. [2024滁州琅琊区期末]如图,有一正方形$ABCD$,边长为$6\sqrt{2}$,$E是边CD$上的中点,对角线$BD上有一动点F$,当$\triangle ABF与\triangle DEF$相似时,$BF$的值为6或8．

答案： 6或8 【点拨】依题意可得AB=AD=CD=$6\sqrt{2}$，∠BAD=90°，∠ABD=∠BDC，
∴BD=$\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}=\sqrt{(6\sqrt{2})^{2}+(6\sqrt{2})^{2}}=12$，DE=$\frac{1}{2}DC=3\sqrt{2}$.
设BF=x，则DF=12−x.
①当∠AFB=∠FED时，△ABF∽△FDE，
∴$\frac{DF}{BA}=\frac{DE}{BF}$，即$\frac{12-x}{6\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{x}$，
解得x=6.
②当∠AFB=∠EFD时，△ABF∽△EDF，
∴$\frac{DF}{BF}=\frac{DE}{BA}$，即$\frac{12-x}{x}=\frac{3\sqrt{2}}{6\sqrt{2}}$，
解得x=8.
综上所述，BF的值为6或8.