《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

12. 如图,在菱形ABCD中,M,N分别在AB,CD上,且$AM= CN$,MN与AC交于点O,连接BO,若$∠DAC= 28^{\circ }$,则$∠OBC$的度数为____$62^{\circ}$.

答案： $62^{\circ}$

13. 新考法 对称法 如图,已知菱形ABCD的两条对角线AC,BD的长分别为6和8,M,N分别是边BC,CD的中点,P是对角线BD上一点,则$PM+PN$的最小值是5.

答案： 5

14. [2023长春]将两个完全相同的含有$30^{\circ }$角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放,点A,E,B,D依次在同一条直线上,连接AF,CD.
(1)求证:四边形AFDC是平行四边形;
(2)已知$BC= 6cm$,当四边形AFDC是菱形时,AD的长为____18cm.

答案： （1）【证明】
∵ $\triangle ACB\cong\triangle DFE$，
∴ $AC = DF$，$\angle CAB=\angle FDE$，
∴ $AC// DF$．
∴ 四边形 $AFDC$ 是平行四边形；
（2）18 【点拨】连接 $CF$ 交 $AD$ 于 $O$，
∵ $\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle CAB = 30^{\circ}$，$BC = 6\mathrm{cm}$，
∴ $AB = 12\mathrm{cm}$，
∴ $AC = 6\sqrt{3}\mathrm{cm}$．
∵ 四边形 $AFDC$ 是菱形，
∴ $CF\perp AD$，$AD = 2AO$．
∴ $\angle AOC = 90^{\circ}$．
又
∵ $\angle CAO = 30^{\circ}$，
∴ $CO=\frac{1}{2}AC = 3\sqrt{3}\mathrm{cm}$．
∴ $AO = 9\mathrm{cm}$．
∴ $AD = 2AO = 18\mathrm{cm}$．

15. [2023长沙岳麓区模拟]如图,点P是边长为6的菱形ABCD的对角线BD上一点,连接CP并延长,交AD于E,连接AP.
(1)求证:$AP= CP$;
(2)若CE垂直平分AD,求PB的长.

答案：
（1）【证明】
∵ 四边形 $ABCD$ 为菱形，
∴ $CD = AD$，$\angle CDP=\angle ADP$．
又
∵ $DP = DP$，
∴ $\triangle CDP\cong\triangle ADP(SAS)$．
∴ $AP = CP$；
（2）【解】如图，连接 $AC$ 交 $BD$ 于 $O$，
∵ 四边形 $ABCD$ 是菱形，
∴ $AC$ 与 $BD$ 互相垂直平分．
由（1）知 $CD = DA$，
∵ $CE$ 垂直平分 $AD$，
∴ $AC = CD$．
∴ $AC = CD = DA$．
∴ $\triangle ACD$ 是等边三角形．
易知点 $P$ 为 $\triangle ACD$ 的重心．
由 $AD = 6$，易知 $OD = 3\sqrt{3}$，
∴ $PD=\frac{2}{3}\times3\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，$BD = 6\sqrt{3}$，
∴ $PB = BD - PD = 4\sqrt{3}$．

16. 学科素养 逻辑推理 如图①,菱形ABCD的一个内角$∠B= 60^{\circ }$,E为BC的中点,F为CD的中点,连接AE,AF,EF.
(1)判断$△AEF$的形状,并证明;
(2)如图②,若E为BC上任意一点,F为CD上任意一点,且$∠EAF= 60^{\circ }$,判断$△AEF$的形状,并证明.

答案：
【解】（1）$\triangle AEF$ 为正三角形．证明如下：
连接 $AC$，如图①所示．
∵ 四边形 $ABCD$ 是菱形，
∴ $AB = BC = CD = AD$，
$\angle D=\angle B = 60^{\circ}$．
∴ $\triangle ABC$ 和 $\triangle ADC$ 都是等边三角形．
∴ $\angle BAC=\angle DAC=\angle ACD = 60^{\circ}$．
∵ $E$，$F$ 分别是边 $BC$，$CD$ 的中点，
∴ $AE\perp BC$，$AF\perp CD$，$AE$ 平分 $\angle BAC$，$AF$ 平分 $\angle DAC$．
∴ $\angle CAE=\angle CAF = 30^{\circ}$．
∴ $\angle EAF = 60^{\circ}$．
∵ $S_{\text{菱形}ABCD}=BC\times AE = CD\times AF$，
∴ $AE = AF$．
∴ $\triangle AEF$ 为正三角形．

（2）$\triangle AEF$ 为正三角形，证明如下：
连接 $AC$，如图②所示．
由（1）知 $\triangle ABC$ 是等边三角形，
∴ $AB = AC$．
∵ $\angle EAF = 60^{\circ}=\angle BAC$，
∴ $\angle BAE=\angle CAF$．
在 $\triangle BAE$ 与 $\triangle CAF$ 中，
$\left\{\begin{array}{l} \angle BAE=\angle CAF,\\ AB = AC,\\ \angle B=\angle ACF = 60^{\circ},\end{array}\right.$
∴ $\triangle BAE\cong\triangle CAF(ASA)$．
∴ $AE = AF$．
又
∵ $\angle EAF = 60^{\circ}$，
∴ $\triangle AEF$ 为正三角形．