《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

1. 下列四组图形中,一定相似的是(D)
A. 正方形与矩形
B. 正方形与菱形
C. 菱形与菱形
D. 正五边形与正五边形

答案： D　[点拨]判定是否是相似多边形时，一定要同时从两个方面判定：对应角是否相等，对应边是否成比例，二者缺一不可.

2. 已知$\triangle ABC\backsim\triangle DEF$,$\frac{AB}{DE}= \frac{1}{2}$,若$BC = 2$,则$EF = $(A)
A. 4
B. 6
C. 8
D. 16

答案： A

3. 下列命题为假命题的是(B)
A. 任意两个等腰直角三角形相似
B. 有一个角为$36^{\circ}$的两个等腰三角形相似
C. 任意两个等边三角形相似
D. 有一个角为$20^{\circ}$的两个直角三角形相似

答案： B　[点拨]A.任意两个等腰直角三角形相似，是真命题；
B.有一个角为36°的两个等腰三角形，没有指明36°是顶角还是底角，这两个三角形相似，是假命题；
C.任意两个等边三角形相似，是真命题；
D.有一个角为20°的两个直角三角形相似，是真命题.
　故选B.

4. [2023陕西]如图,$DE是\triangle ABC$的中位线,点$F在DB$上,$DF = 2BF$.连接$EF$并延长,与$CB的延长线相交于点M$.若$BC = 6$,则线段$CM$的长为(C)


A. $\frac{13}{2}$
B. 7
C. $\frac{15}{2}$
D. 8

答案： C　[点拨]
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，DE = $\frac{1}{2}$BC = 3.
　易证△DEF∽△BMF，
∴$\frac{DE}{BM}$ = $\frac{DF}{BF}$ = $\frac{2BF}{BF}$ = 2.
∴BM = $\frac{3}{2}$.
∴CM = BC + BM = $\frac{15}{2}$.
　故选C.

5. 母题教材P95习题T2如图,每个小正方形的边长均为1,则下列图形中的三角形(阴影部分)与$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$相似的是(B)

答案： B　[点拨]因为△$A_{1}B_{1}C_{1}$中有一个角是135°，四个选项中，只有选项B中的阴影三角形有一个角是135°，且这两个三角形中135°角的两边对应成比例，所以选项B符合题意.

6. $\triangle ABC$的三边长分别为2,3,4,另有一个与它相似的$\triangle DEF$,其最长边为12,则$\triangle DEF$的周长是(C)
A. 54
B. 36
C. 27
D. 21

答案： C　[点拨]设△DEF的另两边长分别为x，y(x＜y)，
∵△ABC与△DEF相似，
∴$\frac{2}{x}$ = $\frac{3}{y}$ = $\frac{4}{12}$.
∴x = 6，y = 9.
∴△DEF的周长是6 + 9 + 12 = 27，故选C.

7. [2023邢台月考]在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,用直尺和圆规在边$AB上确定一点D$,使$\triangle ACD\backsim\triangle CBD$,根据作图痕迹判断,下列正确的是(C)

答案： C　[点拨]当CD是AB的垂线时，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA = ∠BDC = 90°.
　
∴∠A + ∠ACD = 90° = ∠ACD + ∠BCD，
　
∴∠A = ∠BCD.
　
∴△ACD∽△CBD.
　根据作图痕迹可知，
　A选项中，CD是∠ACB的平分线，CD不一定与AB垂直，不符合题意；
　B选项中，CD是△ABC的中线，CD不一定与AB垂直，不符合题意；
　C选项中，CD是AB的垂线，符合题意；
　D选项中，CD不一定与AB垂直，不符合题意.
　故选C.

8. 如图,点$E在矩形ABCD的AB$边上,将$\triangle ADE沿DE$翻折,点$A恰好落在BC边上的点F$处,若$CD = 3BF$,$BE = 4$,则$AD$的长为(C)

A. 9
B. 12
C. 15
D. 18

答案： C　[点拨]先证明△BEF∽△CFD，求得CF = 12，再设BF = x，用含有x的式子表示DF，CD，由勾股定理列出方程即可求解.

9. [2023临沂]如图,三角形纸片$ABC$中,$AC = 6$,$BC = 9$,分别沿与$BC$,$AC$平行的方向,从靠近$A的AB$边的三等分点剪去两个角,得到的平行四边形纸片的周长是______.

答案：
14　　[点拨]如图，由题意得$\frac{AD}{AB}$ = $\frac{1}{3}$，四边形DECF是平行四边形，DF//BC，DE//AC.
∴$\frac{BD}{AB}$ = $\frac{2}{3}$，易得△ADF∽△ABC，△BDE∽△BAC；
∴$\frac{DF}{BC}$ = $\frac{AD}{AB}$ = $\frac{1}{3}$，$\frac{DE}{AC}$ = $\frac{BD}{AB}$ = $\frac{2}{3}$.
　
∵AC = 6，BC = 9，
　
∴DF = 3，DE = 4.
　
∴平行四边形纸片DECF的周长是2×(3 + 4) = 14.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

10. [2024泉州五中模拟]如图,$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle B = 72^{\circ}$,$\angle ACB的平分线CD交AB于点D$,则点$D是线段AB$的黄金分割点.若$AC = 2$,则$BD = $3 - $\sqrt{5}$.

答案： 3 - $\sqrt{5}$

11. 新趋势·跨学科如图,一束光线从点$A(-2,5)$出发,经过$y轴上的点B(0,1)反射后经过点C(m,n)$,则$2m - n$的值是______.

答案：
-1　　[点拨]如图，过点A作AG⊥y轴，过点C作CF⊥y轴，垂足分别为G，F，则∠AGB = ∠CFB = 90°.
　　由题意易知∠ABG = ∠CBF，
　
∴△AGB∽△CFB.
　
∴$\frac{BF}{BG}$ = $\frac{CF}{AG}$.
　
∴$\frac{BF}{CF}$ = $\frac{BG}{AG}$.
　
∵A(-2, 5)，B(0, 1)，C(m, n)，
　
∴AG = 2，BG = 5 - 1 = 4，CF = -m，BF = 1 - n.
　
∴$\frac{BF}{CF}$ = $\frac{BG}{AG}$ = 2.
　
∴$\frac{BF}{CF}$ = $\frac{1 - n}{-m}$ = 2.
　
∴2m - n = -1.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

12. [2023常德]如图①,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ABC = 90^{\circ}$,$AB = 8$,$BC = 6$,$D是AB$上一点,且$AD = 2$,过点$D作DE// BC交AC于E$,将$\triangle ADE绕A$点顺时针旋转到图②的位置,则图②中$\frac{BD}{CE}$的值为______$\frac{4}{5}$.

答案： $\frac{4}{5}$　[点拨]在题图①中，
∵∠ABC = 90°，AB = 8，
BC = 6，
∴AC = $\sqrt{AB^{2} + BC^{2}}$ = $\sqrt{8^{2} + 6^{2}}$ = 10.
　
∵DE//BC，
∴∠ADE = ∠ABC，∠AED = ∠ACB.
　
∴△ADE∽△ABC.
∴$\frac{AD}{AB}$ = $\frac{AE}{AC}$.
∴$\frac{AD}{AE}$ = $\frac{AB}{AC}$.
　　在题图②中，由旋转的性质可得∠DAB = ∠EAC，且$\frac{AD}{AE}$ = $\frac{AB}{AC}$仍成立，
　
∴△ADB∽△AEC；
　
∴$\frac{BD}{EC}$ = $\frac{AB}{AC}$ = $\frac{8}{10}$ = $\frac{4}{5}$.