《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

1. 在平行四边形、矩形、菱形、正方形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的有(C)

A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： C

2. 情境题 地域文化 粤绣凝聚着历代艺人的天才与智慧,从艺术风格到创作思维都充满了岭南特色.在“针尖上的画意——广绣精品与岭南绘画展”中,师傅要检验一个四边形画框是否为矩形,可行的测量方法是(B)

A. 测量四边形画框的两个角是否为$90^{\circ }$
B. 测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分
C. 测量四边形画框的一组对边是否平行且相等
D. 测量四边形画框的四边是否相等

答案： B

3. 如图,矩形ABCD中,AC,BD交于点O,M,N分别为BC,OC的中点,若$∠ACB= 30^{\circ },AB= 8$,则MN的长为(B)

A. 2
B. 4
C. 8
D. 16

答案： B　[点拨]根据矩形的性质和含30°角的直角三角形的性质得出AC = BD = 16,进而求出BO,再依据中位线的性质得MN = $\frac{1}{2}$BO。

4. 如图,在菱形ABCD中,AC,BD交于点O,$AC= 8,BD= 6$,点P为线段AC上的一个动点,过点P分别作$PM⊥AD$于点M,$PN⊥DC$于点N,则$PM+PN$的值为(C)

A. $\frac {48}{5}$
B. $\frac {1}{5}$
C. $\frac {24}{5}$
D. $\frac {2}{3}$

答案： C

5. [2024昭通一模]如图,有六根长度相同的木条,小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具,他先将该活动学具调成如图①所示的菱形,测得$∠B= 60^{\circ }$,连接AC,$AC= 10cm$,接着将该活动学具调成如图②所示的正方形,最后用剩下的两根木条搭成了如图③所示的图形,连接BE,则图③中$\triangle BCE$的面积为( )


A. $50\sqrt {3}cm^{2}$
B. $50cm^{2}$
C. $25\sqrt {3}cm^{2}$
D. $25cm^{2}$

答案：
D　[点拨]
∵菱形ABCD中,AB = BC,∠B = 60°,
∴△ABC是等边三角形。
∴AC = BC。
∵AC = 10cm。
∴BC = 10cm,
∴CE = BC = 10cm。
　如图，过点E作EH⊥BC,交BC的延长线于点H，
　易知△DCE是等边三角形，
∴∠DCE = 60°,
∴易得∠ECH = 30°,
∴EH = $\frac{1}{2}$CE = 5cm,
∴△BCE的面积 = $\frac{1}{2}$BC·EH = $\frac{1}{2}$×10×5 = 25(cm²),故选D。
　　　　　　　　　

6. 新趋势·学科内综合 如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的边长为$2\sqrt {6}$,点B在x轴的正半轴上,且$∠AOC= 60^{\circ }$,将菱形OABC绕原点O逆时针方向旋转$60^{\circ }$,得到四边形$OA'B'C'$(点$A'$与点C重合),则点$B'$的坐标是( )


A. $(3\sqrt {6},3\sqrt {2})$
B. $(3\sqrt {2},3\sqrt {6})$
C. $(3\sqrt {2},6\sqrt {2})$
D. $(6\sqrt {2},3\sqrt {6})$

答案：
B　[点拨]如图,延长B'C交x轴于点D,连接OB'。
∵四边形ABCO是菱形，点B在x轴的正半轴上，∠AOC = 60°,
∴∠COB = ∠AOB = 30°,∠CBA = 60°。
　由旋转可得∠BOB' = 60°,∠C'B'C = ∠CBA = 60°,AB = CB'。
∴∠OB'D = $\frac{1}{2}$∠C'B'C = 30°。
∴∠B'DO = 90°。
　在Rt△CDO中,OC = B'C = 2$\sqrt{6}$,
∴CD = $\frac{1}{2}$OC = $\sqrt{6}$。
∴OD = $\sqrt{3}$CD = $\sqrt{3}$×$\sqrt{6}$ = 3$\sqrt{2}$,DB' = 3$\sqrt{6}$。
∴B'(3$\sqrt{2}$, $\sqrt{6}$)。
　　　　　　　　　　

7. [2023重庆]如图,在正方形ABCD中,O为对角线AC的中点,E为正方形内一点,连接BE,$BE= BA$,连接CE并延长,与$∠ABE$的平分线交于点F,连接OF.若$AB= 2$,则OF的长度为(D)

A. 2
B. $\sqrt {3}$
C. 1
D. $\sqrt {2}$

答案： D　[点拨]连接AF,根据正方形ABCD得到AB = BC = BE,∠ABC = 90°,根据勾股定理求得AC的长。根据角平分线的定义和等腰三角形的性质，求得∠BFE = 45°，再证明△ABF≌△EBF,求得∠AFC = 90°,最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出OF的长度。

8. 新视角 条件开放题 如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.试添加一个条件:AB = AD(答案不唯一),使得矩形ABCD为正方形.

答案： AB = AD(答案不唯一)