《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

1. [2024上海奉贤区模拟]正方形具有而菱形不一定具有的性质是(A)
A. 对角线相等
B. 对角线互相垂直
C. 对角线平分一组对角
D. 对角线互相平分

答案： A

2. [2023广州南沙区期末]一个正方形在平面直角坐标系中的三个顶点的坐标为$(-3,3),(-3,-1),(1,-1)$,则第四个顶点到x轴的距离是(C)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： C

3. 一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示,若$∠3= 50^{\circ }$,则$∠1+∠2=$(B)

A. $90^{\circ }$
B. $100^{\circ }$
C. $130^{\circ }$
D. $180^{\circ }$

答案： B

4. [2023河北]如图,在$Rt\triangle ABC$中,$AB= 4$,点M是斜边BC的中点,以AM为边作正方形AMEF.若$S_{正方形AMEF}= 16$,则$S_{\triangle ABC}= $(B)

A. $4\sqrt {3}$
B. $8\sqrt {3}$
C. 12
D. 16

答案： B

5. 如图,点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点,$∠1= ∠2$,则$∠BPC$的度数为______135$^{\circ }$．

答案： 135

6. 母题教材P22习题T3如图,正方形ABCD中,E是BC上的一点,连接AE,过B点作$BG⊥AE$,垂足为点G,延长BG交CD于点F.
求证：$BE= CF$．
[证明]∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°.
∴∠BAE+∠AEB=90°.
∵BG⊥AE，
∴∠BGE=90°.
∴∠AEB+∠EBG=90°.
∴∠BAE=∠EBG.
∴△ABE≌△BCF(ASA).
∴BE=CF.

答案： [证明]
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCF.
∴∠BAE+∠AEB=90°.
∵BG⊥AE，
∴∠BGE=90°.
∴∠AEB+∠EBG=90°.
∴∠BAE=∠EBG.
∴△ABE≌△BCF(ASA).
∴BE=CF.

7. [2023常德]如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F分别为AO,DO上的一点,且$EF// AD$,连接AF,DE.若$∠FAC= 15^{\circ }$,则$∠AED$的度数为(C)

A. $80^{\circ }$
B. $90^{\circ }$
C. $105^{\circ }$
D. $115^{\circ }$

答案： C

8. 新视角·动点探究题[2024·汕头澄海区期末]如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的两个顶点A,B是坐标轴上的动点,若正方形的边长为4,则线段OC长的最大值是(B)

A. $2+2\sqrt {3}$
B. $2+2\sqrt {5}$
C. $4\sqrt {2}$
D. 8

答案： B

9. 易错题如图,已知正方形ABCD的边长为2,P是对角线BD上一点,$PE⊥BC$于点E,$PF⊥CD$于点F,连接AP,EF.给出下列结论：
①$PD= \sqrt {2}EC$；
②四边形PECF的周长为4；
③$\triangle APD$一定是等腰三角形；
④$AP= EF$；
⑤EF的最小值为$\sqrt {2}$．
其中正确结论的序号为(B)

A. ①②③④
B. ①②④⑤
C. ②④⑤
D. ①②④

答案： B　[点拨]①
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDC=45°，∠BCD=90°.
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴∠PEC=∠PFC=PFD=90°.
∴四边形PECF是矩形，∠PDF=∠DPF=45°.
∴PF=EC，PF=DF.
∴在Rt△DPF中，PD²=DF²+PF²=EC²+EC²=2EC²，
∴PD=√2EC.
　故①正确；
　②
∵四边形PECF为矩形，PF=DF，
∴四边形PECF的周长=2CF+2PF=2CF+2DF=2DC =4.
　故②正确；
　③
∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，
∴∠ADP=45°.由题意可知点P与点B不重合.
∴当∠PAD=45°或67.5°时，△APD是等腰三角形.
　除此之外，△APD不是等腰三角形.
　故③错误；
　④连接PC，
∵四边形PECF为矩形，
∴PC=EF.
∵直线BD是正方形ABCD的对称轴，
∴AP=PC.
∴AP=EF.
　故④正确；
　⑤
∵EF=PC=AP，
∴当AP的长最小时，EF的长最小.
　当AP⊥BD时，AP的长最小.
∵AB=AD=2，∠BAD=90°，
∴AP的长的最小值为1/2 BD=1/2 ×√(2²+2² )=√2，
　即EF的长的最小值等于√2.
　故⑤正确；故选B.