《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

1. 情境题 自然与数学 2023·嘉兴南湖区二模 神奇的自然界中处处蕴含着数学知识,如图,动物学家发现翩翩起舞的蝴蝶双翅展开后的长度与其身长之比约为0.618,这体现了数学中的 (D)

A. 平移
B. 旋转
C. 轴对称
D. 黄金分割

答案： D

2. [2024永州冷水滩区期中]如图,点C是线段AB靠近点B的黄金分割点,则下列等式不正确的是 (D)

A. $\frac {AC}{AB}= \frac {BC}{AC}$
B. $\frac {AC}{AB}\approx 0.618$
C. $AC= \frac {\sqrt {5}-1}{2}AB$
D. $BC= \frac {\sqrt {5}-1}{2}AB$

答案： D

3. 新考向 数学文化 古希腊时期,人们认为最美人体的肚脐至脚底的长度与身高之比约为0.618,著名的“断臂维纳斯”便是如此.若王老师身高165 cm,肚脐到脚底的长度为100 cm,为使王老师穿上高跟鞋以后更接近最美人体比例,选择高跟鞋的跟高约为 (B)
A. 3 cm
B. 5 cm
C. 7 cm
D. 10 cm

答案： B

4. [2024滁州琅琊区期末]已知一本书的宽与长之比为黄金比,且这本书的长是20 cm,则它的宽为$(10\sqrt{5}-10)\text{cm}$.

答案： $(10\sqrt{5}-10)\text{cm}$

5. 一支铅笔长16 cm,把它黄金分割后,将较长部分涂上橘红色,较短部分涂上浅蓝色,那么橘红色部分的长是$(8\sqrt{5}-8)$cm,浅蓝色部分的长是$(24-8\sqrt{5})$cm.(结果保留根号)

答案： $(8\sqrt{5}-8)$；$(24-8\sqrt{5})$

6. 新考向 数学文化 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时,提出了分线段的“中末比”问题:点G将一线段MN分为两线段MG,GN,使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项,即满足$\frac {MG}{MN}= \frac {GN}{MG}= \frac {\sqrt {5}-1}{2}$,后人把$\frac {\sqrt {5}-1}{2}$这个数称为“黄金分割”数,把点G称为线段MN的“黄金分割”点.如图,在$\triangle ABC$中,已知$AB= AC= 3,BC= 4$,若D,E是边BC的两个“黄金分割”点,则$\triangle ADE$的面积为 (A)

A. $10-4\sqrt {5}$
B. $3\sqrt {5}-5$
C. $\frac {5-2\sqrt {5}}{2}$
D. $20-8\sqrt {5}$

答案： A 【点拨】作$AH\perp BC$于$H$．
$\because AB=AC$，
$\therefore BH=CH=\frac{1}{2}BC=2$．
在$Rt\triangle ABH$中，$AH=\sqrt{3^{2}-2^{2}}=\sqrt{5}$．
$\because E$是边$BC$的“黄金分割”点，
$\therefore BE=\frac{\sqrt{5}-1}{2}BC=2(\sqrt{5}-1)=2\sqrt{5}-2$．
$\therefore HE=BE-BH=2\sqrt{5}-2-2=2\sqrt{5}-4$．
同理可得$DH=2\sqrt{5}-4$．
$\therefore DE=4\sqrt{5}-8$．
$\therefore S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}\times(4\sqrt{5}-8)\times\sqrt{5}=10-4\sqrt{5}$．
故选A．

7. [2024杭州上城区期中]如图所示,以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD,取AB的中点P,连接PD,在BA的延长线上取点F,使$PF= PD$,以AF为边作正方形AMEF,点M在AD上.
(1)求AM,DM的长.
AM=$\sqrt{5}-1$，DM=$3-\sqrt{5}$
(2)点M是AD的黄金分割点吗? 为什么?
是，理由：$\because \frac{AM}{AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\therefore$点$M$是$AD$的黄金分割点．

答案： 【解】（1）由题意知$AB=AD=2$，$AF=AM$，$\angle BAD=90^{\circ}$．$\because P$为$AB$的中点，$\therefore AP=\frac{1}{2}AB=1$．
由勾股定理知$PD=\sqrt{AD^{2}+AP^{2}}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$，
$\therefore PF=\sqrt{5}$．
$\therefore AM=AF=PF-AP=\sqrt{5}-1$．
$\therefore DM=AD-AM=3-\sqrt{5}$．
（2）点$M$是$AD$的黄金分割点．理由：
$\because \frac{AM}{AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
$\therefore$点$M$是$AD$的黄金分割点．