《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

13. (10分)母题 教材P51习题T3 一元二次方程$x^{2} + kx - 15 = 0$的一个根是-3,求另一个根及k的值.

答案： 【解】设另一个根为$x_2$.
由根与系数的关系，得$-3\cdot x_2 = -15$，$-3 + x_2 = -k$，
解得$x_2 = 5$，$k = -2$.

14. (12分)[2023无锡梁溪区校级期末]已知关于x的一元二次方程$x^{2} - (m + 5)x + 3m + 6 = 0$.
(1)求证：不论实数m取何值,方程总有实数根；
(2)若该方程的两根是一个矩形的两邻边的长,当这个矩形的对角线长为5时,求m的值.

答案：
(1)【证明】
∵$\Delta = [-(m + 5)]^2 - 4(3m + 6) = m^2 - 2m + 1 = (m - 1)^2 \geq 0$，
∴不论实数$m$取何值，方程总有实数根.
(2)【解】设矩形的两邻边长为$a$，$b$，
根据根与系数的关系得$a + b = m + 5 ＞ 0$，$ab = 3m + 6 ＞ 0$，
∴$m ＞ -2$.
∵$a^2 + b^2 = 25$，
∴$(a + b)^2 - 2ab = 25$，
即$(m + 5)^2 - 2(3m + 6) = 25$，
整理得$m^2 + 4m - 12 = 0$，
解得$m_1 = -6$（舍去），$m_2 = 2$.
∴$m$的值为2.

15. (12分)[2024成都天府新区期末]2023年12月21日,以“共享,协同——引领劳动教育高质量发展”为主题的四川省劳动实验区(校)建设成果展示会暨主题研讨会在天府新区启幕,天府新区作为劳动教育实验区,积极推进区域劳动教育,形成公园城市生态劳动教育模式.新区某校为推进校园劳动课程建设,准备在校园内规划一片蔬菜基地,其中蔬菜基地以墙体为背面,并用30m长的栅栏围成四个具有相同面积的矩形蔬菜基地,每个蔬菜基地一边长为xm,另一边长为ym(如图所示).
(1)求y关于x的函数关系式(不必写明自变量x的取值范围).
(2)每个蔬菜基地的面积是否能达到$10m^{2}且x ＞ y$？若能,求出x的值；若不能,请说明理由.
(1)$y = -\frac{4}{5}x + 6$
(2)能，此时x的值为5

答案： 【解】
(1)根据题意，得$4x + 5y = 30$，
∴$y = -\frac{4}{5}x + 6$.
(2)能. 根据题意，得$x(-\frac{4}{5}x + 6) = 10$，
整理，得$2x^2 - 15x + 25 = 0$，
解得$x_1 = \frac{5}{2}$，$x_2 = 5$，
当$x = \frac{5}{2}$时，$y = -\frac{4}{5}x + 6 = -\frac{4}{5}\times\frac{5}{2} + 6 = 4 ＞ \frac{5}{2}$，不符合题意，舍去；
当$x = 5$时，$y = -\frac{4}{5}x + 6 = -\frac{4}{5}\times5 + 6 = 2 ＜ 5$，符合题意.
∴每个蔬菜基地的面积能达到$10m^2$且$x ＞ y$，此时$x$的值为5.

16. (14分)情境题 通信技术 某工厂有甲、乙两个车间,甲车间生产A产品,乙车间生产B产品,去年两个车间生产产品的数量相等且全部售出,已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元,1件A产品与1件B产品售价和为500元.
(1)A,B两种产品的销售单价分别是多少？
(2)随着5G时代的到来,工业互联网进入了快速发展时期,今年,该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间,预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加$a\%$；B产品产量将在去年的基础上减少$a\%$,但B产品的销售单价将提高$3a\%$,则今年A,B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加$\frac{29}{25}a\%$.求a的值.

答案： 【解】
(1)设B产品的销售单价为$x$元，则A产品的销售单价为$(x + 100)$元.
依题意，得$x + 100 + x = 500$，解得$x = 200$.
∴$x + 100 = 300$.
∴A产品的销售单价为300元，B产品的销售单价为200元.
(2)设去年每个车间生产产品的数量为$t$件.
依题意得$300(1 + a\%)t + 200(1 + 3a\%)(1 - a\%)t = 500t(1 + \frac{29}{25}a\%)$.
设$a\% = m$，则原方程可化简为$5m^2 - m = 0$，
解得$m_1 = \frac{1}{5}$，$m_2 = 0$（不合题意，舍去）.
∴$a = 20$.