《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

1. 关于x的一元二次方程$3x^{2} - 2x + m = 0$有两根,其中一根为$x = 1$,则这两根之积为(D)
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{2}{3}$
C. 1
D. $-\frac{1}{3}$

答案： D 【点拨】设方程的另一个根为$a$，则$1 + a = \frac{2}{3}$，
∴$a = -\frac{1}{3}$.
∴两根之积为$1\times(-\frac{1}{3}) = -\frac{1}{3}$，故选D.

2. 某品牌店铺在“双11大促”中销量大放异彩,11月9日店铺日销量为2.5万件,11日日销量达到3.6万件,若11月9日至11日期间每天销量的增长率都为x,则下面所列方程正确的是(B)
A. $3.6(1 + x)^{2} = 2.5$
B. $2.5(1 + x)^{2} = 3.6$
C. $3.6(1 - x)^{2} = 2.5$
D. $2.5(1 - x)^{2} = 3.6$

答案： B

3. 新考法 变形代入法 若m,n是一元二次方程$x^{2} + 3x - 9 = 0$的两个根,则$m^{2} + 4m + n$的值是(C)
A. 4
B. 5
C. 6
D. 12

答案： C 【点拨】
∵$m$，$n$是一元二次方程$x^2 + 3x - 9 = 0$的两个根，
∴$m^2 + 3m - 9 = 0$，$m + n = -3$.
∴$m^2 + 3m = 9$.
∴$m^2 + 4m + n = m^2 + 3m + (m + n) = 9 - 3 = 6$，故选C.

4. [2024北京四中月考]若一元二次方程$x^{2} - (2m + 3)x + m^{2} = 0有两个不相等的实数根x_{1}$,$x_{2}$,且$x_{1} + x_{2} = x_{1}x_{2}$,则m的值是(B)
A. -1
B. 3
C. 3或-1
D. -3或1

答案： B 【点拨】本题易忽略$\Delta ＞ 0$而错选C.

5. 关于x的方程$(x - 1)(x + 2) = p^{2}$(p为常数)的根的情况,下列结论中正确的是(C)
A. 有两个正根
B. 有两个负根
C. 有一个正根,一个负根
D. 无实数根

答案： C 【点拨】先将方程化成一般形式，再计算得出$\Delta ＞ 0$，最后根据两根之积为负判断根的情况.

6. 新趋势 学科内综合 若一元二次方程$x^{2} - 2x - 1 = 0$的两个根为m,n,则一次函数$y = (m + n)x + mn$的大致图象是(B)

答案： B 【点拨】由题意得$m + n = 2$，$mn = -1$，
∴一次函数$y = (m + n)x + mn$的图象经过第一、三、四象限，故选B.

7. 方程$ax^{2} + bx + c = 0(a \neq 0)$的两根分别是-2和$\frac{1}{3}$,则方程$\frac{1}{3}a(x - 2)^{2} + bx = 2b - 3c$的两根为(D)
A. $0,\frac{7}{3}$
B. -6,1
C. $-\frac{2}{3},\frac{1}{9}$
D. -4,3

答案： D 【点拨】
∵方程$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$的两根分别是$-2$和$\frac{1}{3}$，
∴$-\frac{b}{a} = -\frac{5}{3}$，$\frac{c}{a} = -\frac{2}{3}$.
∵$\frac{1}{3}a(x - 2)^2 + bx = 2b - 3c$，
∴$(x - 2)^2 + \frac{3b}{a}(x - 2) + \frac{9c}{a} = 0$.
∴$(x - 2)^2 + 5(x - 2) - 6 = 0$.
∴$(x - 2 + 6)(x - 2 - 1) = 0$.
∴$(x + 4)(x - 3) = 0$，
解得$x_1 = -4$，$x_2 = 3$.
故选D.

8. 新考向 知识情境化 甲、乙两人同驾一辆车出游,各匀速行驶一半路程,共用3h,到达目的地后,甲对乙说：“我用你所花的时间,可以行驶180km.”乙对甲说：“我用你所花的时间,只能行驶80km.”从他们的交谈中可以判断,乙驾车的时长为(C)
A. 1.2h
B. 1.6h
C. 1.8h
D. 2h

答案： C 【点拨】设乙驾车的时长为$x$h，则$v_{甲} = \frac{180}{x}$km/h，$v_{乙} = \frac{80}{3 - x}$km/h，可列方程为$\frac{180}{x}(3 - x) = \frac{80x}{3 - x}$，解方程即可.

9. [2023随州]已知关于x的一元二次方程$x^{2} - 3x + 1 = 0的两个实数根分别为x_{1}和x_{2}$,则$x_{1} + x_{2} - x_{1}x_{2}$的值为2.

答案： 2

10. [2023岳阳]已知关于x的一元二次方程$x^{2} + 2mx + m^{2} - m + 2 = 0有两个不相等的实数根x_{1}$,$x_{2}$,且$x_{1} + x_{2} + x_{1}x_{2} = 2$,则实数$m = $3.

答案： 3 【点拨】
∵方程有两个不相等的实数根，
∴$\Delta = (2m)^2 - 4\times1\times(m^2 - m + 2) ＞ 0$.
∴$m ＞ 2$.
∵$x_1$，$x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2mx + m^2 - m + 2 = 0$的两个实数根，
∴$x_1 + x_2 = -2m$，$x_1x_2 = m^2 - m + 2$.
∵$x_1 + x_2 + x_1x_2 = 2$，
∴$-2m + m^2 - m + 2 = 2$.
解得$m_1 = 0$（不符合题意，舍去），$m_2 = 3$.
∴$m = 3$.

11. 母题·教材P55习题T1 某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出,平均每天可售出30件.为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,调查发现：每件降价1元,则每天可多售5件.如果每天要盈利800元,每件应降价10元.

答案： 10 【点拨】设每件降价$x$元，则每件的销售利润为$(65 - x - 45)$元，每天可售出$(30 + 5x)$件.
根据题意，得$(65 - x - 45)(30 + 5x) = 800$，
解得$x_1 = 4$，$x_2 = 10$.
∵要尽快减少库存，
∴$x = 10$.
∴每件应降价10元.

12. 母题 教材P54习题T4 如图,在$Rt\triangle ACB$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AC = 30cm$,$BC = 25cm$,动点P从点C出发,沿CA方向运动,速度是2cm/s；同时,动点Q从点B出发,沿BC方向运动,速度是1cm/s,则经过______10s后,P,Q两点之间相距25cm.

答案： 10 【点拨】设经过$t$s后，$P$，$Q$两点之间相距25cm. 根据题意，得$CP = 2t$cm，$CQ = (25 - t)$cm，$PQ = 25$cm.
∵$CP^2 + CQ^2 = PQ^2$，
∴$(2t)^2 + (25 - t)^2 = 25^2$，解得$t_1 = 10$，$t_2 = 0$（舍去）.
∴经过10s后，$P$，$Q$两点之间相距25cm.