《2025年课堂专题导学精练七年级数学下册人教版》

三、解答题(共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(4分)计算：
(1) $\sqrt{2}\left(\sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$;
(2) $|\sqrt{2} - \sqrt{3}| + 3\sqrt{2}$.

答案：
(1)原式$= \sqrt{2}×\sqrt{2} + \sqrt{2}×\frac{1}{\sqrt{2}} = 2 + 1 = 3$；
(2)原式$= \sqrt{3} - \sqrt{2} + 3\sqrt{2} = \sqrt{3} + 2\sqrt{2}$。

18.(4分)解方程组：$\begin{cases} 3x + 4y = 2 \\ 2x - y = 5 \end{cases}$

答案： 由②得$y = 2x - 5$，代入①：$3x + 4(2x - 5) = 2 \Rightarrow 11x = 22 \Rightarrow x = 2$，
$y = 2×2 - 5 = -1$，方程组解为$\begin{cases} x = 2 \\ y = -1 \end{cases}$。

19.(6分)解不等式组：$2 \leq 3x - 7 ＜ 8$,并把它的解集在数轴上表示出来.

答案： 解$3x - 7 \geq 2$得$x \geq 3$；解$3x - 7 ＜ 8$得$x ＜ 5$。
解集$3 \leq x ＜ 5$，数轴表示：$\xrightarrow[0\quad 3\quad 5]{\bullet\quad\circ}$。

20.(8分)如图,在平面内有$A,B,C$三点.请按照要求画图.
(1)分别画出直线$AC$,线段$BC$,射线$AB$;
(2)过点$A$画$AD \perp BC$,垂足为点$D$;
(3)尺规作图：在射线$AB$上作出点$E$,使$AE = 2BC$（要求保留作图痕迹）.

答案：
(1)-
(3)作图步骤：
(1)直线$AC$（向两端延伸），线段$BC$（两端不延伸），射线$AB$（从$A$向$B$延伸）；
(2)以$A$为圆心画弧交$BC$于两点，作两点中垂线交$BC$于$D$；
(3)以$B$为圆心$BC$为半径画弧交$AB$于$F$，再以$F$为圆心$BC$为半径画弧交$AB$延长线于$E$。

21.(8分)完成下面的证明：
如图,$BE$平分$\angle ABD$,$DE$平分$\angle BDC$,且$\angle \alpha + \angle \beta = 90^\circ$.
求证:$AB // CD$.
证明:∵ $BE$平分$\angle ABD$(已知),
∴ $\angle ABD = 2\angle \alpha$(__________).
又∵ $DE$平分$\angle BDC$(__________).
∴ $\angle BDC = $__________(__________).
∴ $\angle ABD + \angle BDC = 2\angle \alpha + 2\angle \beta = 2(\angle \alpha + \angle \beta)$.
又∵ $\angle \alpha + \angle \beta = 90^\circ$(已知),
∴ $\angle ABD + \angle BDC = $__________(__________).
∴ $AB // CD$(__________).

答案： 角平分线定义；已知；$2\angle \beta$；角平分线定义；$180^\circ$；等量代换；同旁内角互补，两直线平行。