《2025年课堂专题导学精练七年级数学下册人教版》

1. 与方程组有关
对于任意实数$ a,b $,定义关于“$ \otimes $”的一种运算如下:
$ a \otimes b = 2a + b $.
例如:$ 3 \otimes 4 = 2 × 3 + 4 = 10 $.
(1)求$ 2 \otimes (-5) $的值;
(2)若$ x \otimes (-y) = 2 $,且$ 2y \otimes x = -1 $,求$ x + y $的值.

答案：
(1)-1
(2)$\frac{1}{3}$
解析：
(1)$ 2 \otimes (-5) = 2 × 2 + (-5) = -1 $。
(2)由题意得$ 2x - y = 2 $，$ x + 4y = -1 $，解得$ x = \frac{7}{9} $，$ y = -\frac{4}{9} $，$ x + y = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} $。

2. 与实数有关
已知$ 10 + \sqrt{3} = x + y $,其中$ x $是整数,且$ 0 ＜ y ＜ 1 $,求$ x - y $的值.

答案： $ 12 - \sqrt{3} $
解析：$ x = 11 $，$ y = \sqrt{3} - 1 $，$ x - y = 11 - (\sqrt{3} - 1) = 12 - \sqrt{3} $。

3. 与不等式有关
阅读以下材料:对于三个数$ a,b,c $,用$ \min\{a,b,c\} $表示这三个数中最小的数.
例如:$ \min\{-1,2,3\} = -1 $;
$ \min\{-1,2,a\} = \begin{cases} a & (a \leq -1) \\ -1 & (a ＞ -1) \end{cases} $.
解答下列问题:
(1)填空:$ \min\{-2,0,2\} = $______;
(2)如果$ \min\{2,2x + 2,4 - 2x\} = 2 $,求$ x $的取值范围.

答案：
(1)-2
(2)$ 0 \leq x \leq 1 $
解析：
(1)最小数为-2。
(2)由$ 2x + 2 \geq 2 $且$ 4 - 2x \geq 2 $，解得$ x \geq 0 $且$ x \leq 1 $。

4. 我们定义一个关于非零常数$ a,b $的新运算,规定:$ x \oplus y = ax + by $.
例如:$ 3 \oplus 2 = 3x + 2y $.
(1)若$ x = -5 $,$ 2 \oplus 4 = -18 $,求$ y $的值;
(2)若$ 1 \oplus 1 = 8 $,$ 4 \oplus 2 = 20 $,求$ x,y $的值.

答案：
(1)$ y = -2 $
(2)$ x = 2 $，$ y = 6 $
解析：
(1)$ 2 \oplus 4 = -5 × 2 + 4y = -10 + 4y = -18 $，解得$ y = -2 $。
(2)由$ x + y = 8 $，$ 4x + 2y = 20 $，解得$ x = 2 $，$ y = 6 $。

5. 定义:对于实数$ a $,符号$ [a] $表示不大于$ a $的最大整数.例如:$ [5.7] = 5 $,$ [5] = 5 $,$ [-\pi] = -4 $.
(1)如果$ [a] = -2 $,那么$ a $的取值范围是______;
(2)如果$ [x + 0.5] \leq 3 $,求满足条件的所有正整数$ x $.

答案：
(1)$ -2 \leq a ＜ -1 $
(2)1,2
解析：
(1)由定义知$ -2 \leq a ＜ -1 $。
(2)$ x + 0.5 ＜ 4 $，$ x ＜ 3.5 $，正整数$ x = 1,2 $。

6. 用※定义一种新运算:对于任意实数$ m $和$ n $,规定$ m※n = m^2n - mn - 3n $,例如:$ 1※2 = 1^2 × 2 - 1 × 2 - 3 × 2 = -6 $.
(1)求$ (-2)※\sqrt{3} $;
(2)若$ 3※m \geq -6 $,求$ m $的取值范围,并在所给的数轴上表示出解集.

答案：
(1)$ 3\sqrt{3} $
(2)$ m \geq -2 $，数轴表示略
解析：
(1)$ (-2)※\sqrt{3} = 4\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 3\sqrt{3} $。
(2)$ 3※m = 9m - 3m - 3m = 3m \geq -6 $，解得$ m \geq -2 $。