《2025年课堂专题导学精练七年级数学下册人教版》

5. 解方程组$\begin{cases}x:y:z = 1:2:3\\x + y + z = 36\end{cases}$

答案： 设$x = k$，$y = 2k$，$z = 3k$，则$k + 2k + 3k = 36$，$6k = 36$，$k = 6$，所以$x = 6$，$y = 12$，$z = 18$。
答案：$\begin{cases}x = 6\\y = 12\\z = 18\end{cases}$

6. 二元一次方程组$\begin{cases}4x + 3y = 7\\kx + (k - 1)y = 3\end{cases}$的解$x,y$的值相等，求$k$.

答案： 因为$x = y$，代入$4x + 3x = 7$，$7x = 7$，$x = 1$，$y = 1$。代入第二个方程：$k + (k - 1) = 3$，$2k - 1 = 3$，$k = 2$。
答案：2

7. 已知式子$ax^2 + bx + c$，当$x = -1$时，其值为4；当$x = 1$时，其值为8；当$x = 2$时，其值为25。求当$x = 3$时式子的值.

答案： 代入得$\begin{cases}a - b + c = 4\\a + b + c = 8\\4a + 2b + c = 25\end{cases}$，②-①得$2b = 4$，$b = 2$；①+②得$2a + 2c = 12$，即$a + c = 6$；③-②得$3a + b = 17$，$a = 5$，$c = 1$。
式子为$5x^2 + 2x + 1$，当$x = 3$时，$5×9 + 6 + 1 = 52$。
答案：52

8. 解方程组$\begin{cases}a - b + c = 0\\4a + 2b + c = 3\\25a + 5b + c = 60\end{cases}$

答案： ②-①得$3a + 3b = 3$，即$a + b = 1$；③-②得$21a + 3b = 57$，即$7a + b = 19$。
两式相减得$6a = 18$，$a = 3$，$b = -2$，代入①得$c = -5$。
答案：$\begin{cases}a = 3\\b = -2\\c = -5\end{cases}$

9. 已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x + 2y - 6 = 0\\x - 2y + mx + 5 = 0\end{cases}$
(1)请直接写出方程$x + 2y - 6 = 0$的所有正整数解；
(2)若方程组的解满足$x + y = 0$，求$m$的值.

答案：
(1)方程$x = 6 - 2y$，正整数解：$y = 1$时$x = 4$；$y = 2$时$x = 2$，即$\begin{cases}x = 4\\y = 1\end{cases}$，$\begin{cases}x = 2\\y = 2\end{cases}$。
(2)由$x + y = 0$得$x = -y$，代入$x + 2y = 6$得$y = 6$，$x = -6$。代入第二个方程：$-6 - 12 - 6m + 5 = 0$，$m = -\frac{13}{6}$。
答案：
(1)$\begin{cases}x = 4\\y = 1\end{cases}$，$\begin{cases}x = 2\\y = 2\end{cases}$；
(2)$-\frac{13}{6}$

10. 为确保信息安全，在传输时往往加密，发送方发出一组密码为$a,b,c$时，则接收方对应收到的密码为$A,B,C$，双方约定：$A = 2a - b$，$B = 2b$，$C = b + c$。例如发出1,2,3，则收到0,4,5。
(1)当发送方发出一组密码为2,3,5时，则接收方收到的密码是 ；
(2)当接收方收到一组密码2,8,11时，则发送方发出的密码是多少？

答案：
(1)$A = 2×2 - 3 = 1$，$B = 2×3 = 6$，$C = 3 + 5 = 8$，收到1,6,8。
(2)由$B = 8$得$2b = 8$，$b = 4$；由$A = 2$得$2a - 4 = 2$，$a = 3$；由$C = 11$得$4 + c = 11$，$c = 7$，发出3,4,7。
答案：
(1)1,6,8；
(2)3,4,7