《2025年课堂专题导学精练七年级数学下册人教版》

7. 小明在做课外题时,遇到这样一道题:
“$ \frac{x + 1}{3x - 2} ＜ 0 $,求$ x $的取值范围.”
小明根据我们学过的有理数除法法则可知:两数相除,同号得正,异号得负.其字母表达式为:
①若$ a ＞ 0,b ＞ 0 $,则$ \frac{a}{b} ＞ 0 $;若$ a ＜ 0,b ＜ 0 $,则$ \frac{a}{b} ＞ 0 $;
②若$ a ＞ 0,b ＜ 0 $,则$ \frac{a}{b} ＜ 0 $;若$ a ＜ 0,b ＞ 0 $,则$ \frac{a}{b} ＜ 0 $.
反之:
③若$ \frac{a}{b} ＞ 0 $,则$ a ＞ 0,b ＞ 0 $或$ a ＜ 0,b ＜ 0 $;
④若$ \frac{a}{b} ＜ 0 $,则______或______.
小明思考之后做了如下解答:
解:由$ \frac{x + 1}{3x - 2} ＜ 0 $,得$ \begin{cases} x + 1 ＞ 0 \\ 3x - 2 ＜ 0 \end{cases} $或$ \begin{cases} x + 1 ＜ 0 \\ 3x - 2 ＞ 0 \end{cases} $,
$ \therefore \begin{cases} x ＞ -1 \\ x ＜ \frac{2}{3} \end{cases} $或$ \begin{cases} x ＜ -1 \\ x ＞ \frac{2}{3} \end{cases} $(无解),$ \therefore -1 ＜ x ＜ \frac{2}{3} $.
请你仿照小明的做法,解下列不等式:
(1)$ \frac{a - 5}{a + 1} ＞ 0 $;
(2)$ (x + 2)(x + 8) \geq 0 $;
(3)$ (5x + 1)(2x - 3) ＜ 0 $.

答案：
(1)$ a ＞ 5 $或$ a ＜ -1 $
(2)$ x \leq -8 $或$ x \geq -2 $
(3)$ -\frac{1}{5} ＜ x ＜ \frac{3}{2} $
解析：
(1)由$ (a - 5)(a + 1) ＞ 0 $，得$ a ＞ 5 $或$ a ＜ -1 $。
(2)由$ (x + 2)(x + 8) \geq 0 $，得$ x \leq -8 $或$ x \geq -2 $。
(3)由$ (5x + 1)(2x - 3) ＜ 0 $，得$ -\frac{1}{5} ＜ x ＜ \frac{3}{2} $。

8. 阅读材料
两个数量的大小可以通过它们的差来判断.如果两个数$ a $和$ b $比较大小,那么
①当$ a ＞ b $时,一定有$ a - b ＞ 0 $;
②当$ a = b $时,一定有$ a - b = 0 $;
③当$ a ＜ b $时,一定有$ a - b ＜ 0 $.
反过来也对,即
①当$ a - b ＞ 0 $时,一定有$ a ＞ b $;
②当$ a - b = 0 $时,一定有$ a = b $;
③当$ a - b ＜ 0 $时,一定有$ a ＜ b $.
因此,我们经常把两个要比较的对象先数量化,再求它们的差,根据差的正负判断对象的大小.
问题情境
(1)比较多项式$ x^2 - 2x - 15 $与$ x^2 - 2x - 8 $的大小;
(2)比较多项式$ 5m^2 - 4m + 2 $与$ 4m^2 - 4m - 7 $的大小;
(3)制作某产品有两种用料方案:
方案1:用4块$ A $型钢板,8块$ B $型钢板;
方案2:用3块$ A $型钢板,9块$ B $型钢板.
$ A $型钢板的面积比$ B $型钢板大,从省料角度考虑,应选哪种方案?

答案：
(1)$ x^2 - 2x - 15 ＜ x^2 - 2x - 8 $
(2)$ 5m^2 - 4m + 2 ＞ 4m^2 - 4m - 7 $
(3)方案2
解析：
(1)作差$ -7 ＜ 0 $，故前者小。
(2)作差$ m^2 + 9 ＞ 0 $，故前者大。
(3)方案1 - 方案2 = $ A - B ＞ 0 $，选方案2。