《2025年课堂专题导学精练七年级数学下册人教版》

7. 已知关于$x$、$y$的二元一次方程组$\begin{cases} x + y = 3m + 3 \\ x - y = m - 5 \end{cases}$
(1)求这个方程组的解（用含有$m$的式子表示）；
(2)若这个方程组的解中，$x$的值是负数，$y$的值是正数，求$m$的整数值.

答案：
(1)$\begin{cases} x = 2m - 1 \\ y = m + 4 \end{cases}$
(2)$-3, -2, -1, 0$
解析：
(1)两式相加得$2x = 4m - 2$，即$x = 2m - 1$；两式相减得$2y = 2m + 8$，即$y = m + 4$。
(2)由题意$\begin{cases} 2m - 1 ＜ 0 \\ m + 4 ＞ 0 \end{cases}$，解得$-4 ＜ m ＜ \dfrac{1}{2}$，整数$m = -3, -2, -1, 0$。

8. 关于$x$、$y$的方程组$\begin{cases} 2x + y = m + 7 \\ x + 2y = 8 - m \end{cases}$满足$x \geq 0$，$y ＞ 0$，那么$m$的取值范围在数轴上应表示为( ).
A. $\begin{array}{ccccccc} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & & \\ \hline \bullet & & & & \circ & & \end{array}$
B. $\begin{array}{ccccccc} -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & & \\ \hline \circ & & & \bullet & & & \end{array}$
C. $\begin{array}{ccccccc} -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & \\ \hline \bullet & & & & & \circ & \end{array}$
D. $\begin{array}{ccccccc} -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & & \\ \hline & & \bullet & & \circ & & \end{array}$

答案： C
解析：方程组相加得$x + y = 5$，则$y = 5 - x$，代入得$x = m + 2$，$y = 3 - m$，由$\begin{cases} m + 2 \geq 0 \\ 3 - m ＞ 0 \end{cases}$，解得$-2 \leq m ＜ 3$，数轴表示为选项C。

9. 已知关于$x$、$y$的方程组$\begin{cases} 3x + 2y = 2 + 5a \\ 2x + 3y = 3 - a \end{cases}$
(1)求使它的解满足$x + y ＞ 0$的$a$的取值范围；
(2)求使不等式$x - y ＞ 2$成立的最小正整数$a$的值.

答案：
(1)$a ＞ -\dfrac{5}{4}$
(2)1
解析：
(1)两式相加得$5x + 5y = 5 + 4a$，即$x + y = 1 + \dfrac{4a}{5}$，由$1 + \dfrac{4a}{5} ＞ 0$，解得$a ＞ -\dfrac{5}{4}$。
(2)两式相减得$x - y = -1 + 6a$，由$-1 + 6a ＞ 2$，解得$a ＞ \dfrac{1}{2}$，最小正整数$a = 1$。

10. 阅读下列材料然后解答问题
例：解不等式$(x + 1)(x - 3) ＞ 0$.
解：根据两数相乘同号得正、异号得负，原不等式可化为两个不等式组$\begin{cases} x + 1 ＞ 0 \\ x - 3 ＞ 0 \end{cases}$或$\begin{cases} x + 1 ＜ 0 \\ x - 3 ＜ 0 \end{cases}$，解这两个不等式组得原不等式的解集是$x ＞ 3$或$x ＜ -1$.
请仿照例题解下列不等式.
(1)$(x + 2)(x + 8) \geq 0$；
(2)$(5x + 1)(2x - 3) ＜ 0$.

答案：
(1)$x \leq -8$或$x \geq -2$
(2)$-\dfrac{1}{5} ＜ x ＜ \dfrac{3}{2}$
解析：
(1)原不等式化为$\begin{cases} x + 2 \geq 0 \\ x + 8 \geq 0 \end{cases}$或$\begin{cases} x + 2 \leq 0 \\ x + 8 \leq 0 \end{cases}$，解得$x \geq -2$或$x \leq -8$。
(2)原不等式化为$\begin{cases} 5x + 1 ＞ 0 \\ 2x - 3 ＜ 0 \end{cases}$或$\begin{cases} 5x + 1 ＜ 0 \\ 2x - 3 ＞ 0 \end{cases}$，解得$-\dfrac{1}{5} ＜ x ＜ \dfrac{3}{2}$。