《2025年畅行课堂七年级数学下册北师大版》

1. (1) 如图 1, 在四边形 ABCD 中，AB = AD, ∠B = ∠D = 90°, E, F 分别是边 BC, CD 上的点, 且∠EAF = $\frac{1}{2}$∠BAD。请直接写出线段 EF, BE, FD 之间的数量关系:________;
(2) 如图 2, 在四边形 ABCD 中, AB = AD, ∠B + ∠D = 180°, E, F 分别是边 BC, CD 上的点, 且∠EAF = $\frac{1}{2}$∠BAD, (1) 中的结论是否仍然成立？请说明理由。

答案：
1.解:
(1)EF=BE+FD
(2)
(1)中的结论仍然成立。理由如下:
如图,延长EB到点G,使BG=DF,连接AG。

因为∠ABC+∠D=180°,∠ABG+∠ABC=180°,所以∠ABG=∠D。在△ABG和△ADF中,
$\begin{cases}AB = AD\\∠ABG = ∠D\\BG = DF\end{cases}$
所以△ABG≌△ADF(SAS),
所以AG=AF,∠1=∠2,
所以∠1+∠3=∠2+∠3=∠BAD−∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD=∠EAF,
所以∠GAE=∠EAF。
又因为AE=AE,AG=AF,
所以△AEG≌△AEF,
所以EG=EF。
因为EG=BE+BG=BE+FD,
所以EF=BE+FD。

2. [阅读与理解]连接三角形的顶点和它所对的边的中点所得的线段称为三角形的中线。由三角形的中线得出结论: 三角形的中线等分三角形的面积。
即如图 1, AD 是△ABC 中 BC 边上的中线，则 S△ABD = S△ACD = $\frac{1}{2}$S△ABC。
理由: 由题意，得 BD = CD, 所以 S△ABD = $\frac{1}{2}$BD·AH = $\frac{1}{2}$CD·AH = S△ACD。
又因为 S△ABC = S△ABD + S△ACD,
所以 S△ABD = S△ACD = $\frac{1}{2}$S△ABC,
即等底同高的三角形面积相等。
[操作与探索]在图 2 至图 4 中, △ABC 的面积为 a。
(1) 如图 2, 延长△ABC 的边 BC 到点 D, 使 CD = BC, 连接 DA, 若△ACD 的面积为 S1, 则 S1 =______; (用含 a 的代数式表示)
(2) 如图 3, 延长△ABC 的边 BC 到点 D, 延长边 CA 到点 E, 使 CD = BC, AE = CA, 连接 DE, 若△DEC 的面积为 S2, 则 S2 =______; (用含 a 的代数式表示)
(3) 在图 3 基础上延长 AB 到点 F, 使 BF = AB, 连接 FD, FE, 得到△DEF(如图 4), 若阴影部分的面积为 S3, 则 S3 =______; (用含 a 的代数式表示)

[拓展与应用](4) 如图 5，已知四边形 ABCD 的面积是 m, E, F, G, H 分别是 AB, BC, CD, DA 的中点，连接 EG, FH, 交于点 O, 求图中阴影部分的面积。

答案：
2.解:
(1)a　
(2)2a　
(3)6a
(4)如图，连接AO,BO,CO,DO。

易得$S_{\triangle AOE}=S_{\triangle HOE}=\frac{1}{2}S_{\triangle AOB}$,
$S_{\triangle BOF}=S_{\triangle GOF}=\frac{1}{2}S_{\triangle BOC}$,
$S_{\triangle COG}=S_{\triangle DOG}=\frac{1}{2}S_{\triangle COD}$,
$S_{\triangle DOH}=S_{\triangle AOH}=\frac{1}{2}S_{\triangle AOD}$,
所以阴影部分的面积为$\frac{1}{2}S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}m$。