《2025年畅行课堂七年级数学下册北师大版》

1. [分类讨论思想]在△ABC中，AD为BC边上的高，若∠B = 40°，∠CAD = 30°，则∠BAC的度数为________。

答案： 80°或20°

2. (1) [答题模板]如图，在△ABC中，AB = AC，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC，垂足分别为E，F，G。试说明:DE + DF = BG。
解:如图，连接AD。
因为S△ABC = S△ABD + S△ADC，
所以$\frac{1}{2}$AC·________ = $\frac{1}{2}$AB·________ + $\frac{1}{2}$AC·________。
又因为AB = AC，
所以$\frac{1}{2}$AC·______ = $\frac{1}{2}$AC·(____________)，所以DE + DF = BG。

(2) [针对练习]如图，在Rt△ABC中，∠ABC = 90°，点D沿BC从点B向点C运动(点D与点B，C不重合)，作BE⊥AD于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，在点D的运动过程中，试判断CF + BE的值是否发生改变？

答案：
(1)BG　DE　DF　BG　DE + DF
(2)解:由S△ABC = S△ACD + S△ABD，得S△ABC = $\frac{1}{2}$AD·CF + $\frac{1}{2}$AD·BE = $\frac{1}{2}$AD·(CF + BE) = $\frac{1}{2}$AB·BC。因为△ABC的面积不变，而点D从点B向点C运动的过程中，AD的长度逐渐变大，所以CF + BE的值逐渐变小。

3. 如图，在△ABC中(AC＞AB)，AC = 2BC，边BC上的中线AD把△ABC的周长分成60cm和40cm两部分。
则AB的长为__________。

答案： 28cm

4. 如图，已知△ABC的周长是33cm，AD是边BC上的中线，AB = $\frac{3}{2}$AC。
(1) 当AC = 10cm时，求BD的长；
(2) 若AC = 12cm，能否求出DC的长？请说明理由。

答案： 解:
(1)因为AB = $\frac{3}{2}$AC，AC = 10cm，所以AB = 15cm。又因为△ABC的周长是33cm，所以BC = 8cm。因为AD是边BC上的中线，所以BD = $\frac{1}{2}$BC = 4cm。
(2)不能。理由如下:因为AB = $\frac{3}{2}$AC，AC = 12cm，所以AB = 18cm。又因为△ABC的周长是33cm，所以BC = 3cm。因为AC + BC = 15cm，所以AC + BC ＜ AB，所以不能构成△ABC，则不能求出DC的长。

5. [整体思想]如图，△ABC的三条中线AD，BE，CF相交于点O。若△ABC的面积为20，则阴影部分的面积之和为______。

答案： 10

6. 如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，AB = 6cm，AC = 8cm，则△ABD与△ACD的周长之差为______，面积之差为______。

答案： 2cm　0cm²

7. 如图，在△ABC中，BE，CD为角平分线且交点为O。
(1) 若∠ABC = 60°，∠ACB = 80°，求∠BOC的度数；
(2) 若∠BOC = 120°，求∠A的度数；
(3) 若∠A = α时，则∠BOC = ____________。

答案： 解:
(1)根据题意，得∠OBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = 30°，∠OCB = $\frac{1}{2}$∠ACB = 40°，所以∠BOC = 180° - ∠OBC - ∠OCB = 110°。
(2)因为∠BOC = 120°，所以∠OBC + ∠OCB = 180° - ∠BOC = 60°。因为在△ABC中，BE，CD为角平分线，所以∠ABC = 2∠OBC，∠ACB = 2∠OCB，所以∠ABC + ∠ACB = 2(∠OBC + ∠OCB) = 120°。因为∠A + ∠ABC + ∠ACB = 180°，所以∠A = 180° - (∠ABC + ∠ACB) = 60°。
(3)90° + $\frac{1}{2}$α