《2025年畅行课堂七年级数学下册北师大版》

12.在课后服务课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形。如图2，用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成一个大正方形。

[发现]
(1)根据图2，写出一个我们熟悉的数学公式______________________________;
[应用]
(2)根据(1)中的数学公式，解决下列问题:
①已知a + b = 7，a² + b² = 25，求ab的值;
②如果一个长方形的长和宽分别为(8 - x)和(x - 2)，且(8 - x)²+(x - 2)² = 20，求这个长方形的面积。

答案： 解:
(1)$(a + b)^{2}=a^{2}+ 2ab + b^{2}$
(2)①因为 a + b = 7，$a^{2}+b^{2} = 25$，所以$ab=\frac{1}{2}[(a + b)^{2}-(a^{2}+b^{2})]=\frac{1}{2}×(7^{2} - 25)= 12$。
②因为[(8 - x)+(x - 2)]²=$6^{2} = 36$，$(8 - x)^{2}+(x - 2)^{2} = 20$，所以$2(8 - x)(x - 2)= 16$，所以$(8 - x)(x - 2)= 8$，所以这个长方形的面积为8。

13.计算4a·3a²b÷2ab的结果是　　　(　　)
A.6a　　
　B.6ab　　
　C.6a²　　
　D.6a²b²

答案： C

14.(贵阳中考)化简x(x - 1)+x的结果是______。

答案： $x^{2}$

15.若(ax² - 3x)(x² - 2x - 1)的展开式中不含x²项，则a =______。

答案： $-\frac{3}{2}$

16.计算:
(1)6xy²·(−2x²y)÷(−3y²);
(2)$\frac{1}{2}$(2x - y)(x + y);
(3)[x(x² - 2x + 3) - 3x]÷$\frac{1}{2}$x²。

答案：
(1)解:原式$=-12x^{3}y^{3}÷(-3y^{3})=4x^{3}$。
(2)解:原式$=\frac{1}{2}(2x^{2}+xy-y^{2})=x^{2}+\frac{1}{2}xy-\frac{1}{2}y^{2}$。
(3)解:原式$=(x^{3}-2x^{2}+3x-3x)÷\frac{1}{2}x^{2}=(x^{2}-2x^{2})÷\frac{1}{2}x^{2}=2x - 4$。

17.已知a² + 2b² - 1 = 0，则b(2a + b)+(a - b)² =______。

答案： 1

18.先化简，再求值:x(x - 4y)+(2x + y)(2x - y)-(2x - y)²，其中x = - 2，y = 1。

答案： 解:原式$=x^{2}-4xy +4x^{2}-y^{2}-4x^{2}+4xy-y^{2}=x^{2}-2y^{2}$。
当 x = -2，y = 1时，原式$=(-2)^{2}-2×1^{2}= 2$。

19.王老师给学生出了一道题:求(2x + y)(2x - y)+2(2x - y)²+(2xy² - 16x²y)÷(−2x)的值，其中x = $\frac{1}{2}$，y = - 1。
同学们看了题目后发表了不同的看法:
小明说:“条件y = - 1是多余的。”
小亮说:“不给y = - 1这个条件，就不能求出结果，所以不多余。”
你认为谁的说法有道理？为什么？

答案： 解:小明的说法有道理。理由如下:原式$=4x^{2}-y^{2}+2(4x^{2}-4xy+y^{2})+(-y^{2}+8xy)=4x^{2}-y^{2}+8x^{2}-8xy+2y^{2}-y^{2}+8xy=12x^{2}$。因为化简后的结果中没有含 y 的项，所以结果与 y 的取值无关，所以小明的说法有道理。