《2025年畅行课堂七年级数学下册北师大版》

9.从前，一位庄园主把一块边长为am(a＞6)的正方形土地租给一位农户，第二年，他对农户说:“我把这块地的一边增加6m，相邻的一边减少6m，变成长方形土地继续租给你，租金不变，你也没吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得农户的租地面积会　　　(　　)
A.没有变化　　　　　　B.变大
C.变小　　　　　　　　　D.无法确定

答案： C

10.三个连续偶数，若中间一个是n，则它们的积是________。

答案： n² - 4n

11.计算:100²−101×99 = ____________。

答案： 1

12.解方程:(3−x)(3 + x)−x(5−x)=4。

答案： 解:原方程变形为
　　　3² - x² - 5x + x² = 4,
　　　合并同类项，得9 - 5x = 4,
　　　移项,得 - 5x = - 5,
　　　方程的两边都除以 - 5,
　　　得x = 1。

13.试说明:($\frac{1}{4}$m² + 2n)($\frac{1}{4}$m²−2n)+(2n−4)(2n + 4)的值与n的取值无关。

答案： 解:原式=($\frac{1}{4}$m²)² - (2n)² + (2n)² - 4²
　　　　　=$\frac{1}{16}$m⁴ - 4n² + 4n² - 16
　　　　　=$\frac{1}{16}$m⁴ - 16。
　因为$\frac{1}{16}$m⁴ - 16中没有含有n的项，
　所以($\frac{1}{4}$m² + 2n)($\frac{1}{4}$m² - 2n) + (2n - 4)(2n + 4)的值与n的取值无关。

14.某中学建了一个长方体游泳池，若游泳池的长为(4a² + 9b²)m，宽为(2a + 3b)m，深为(2a−3b)m，则这个游泳池的容积是多少？

答案： 解:(4a² + 9b²)(2a + 3b)(2a - 3b)
　　　=(4a² + 9b²)(4a² - 9b²)
　　　=16a⁴ - 81b⁴。
　答:这个游泳池的容积是(16a⁴ - 81b⁴)m³。

15.如图，小刚家有一块“L”形的菜地，现要把这块菜地按图中虚线分成两个面积相等的梯形，分别种上不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是xm，下底都是ym，高都是(y−x)m。
　(1)小刚家菜地的面积是多少平方米？
　(2)当x = 20，y = 30时，小刚家菜地的面积是多少平方米?
　　　　　　　　　　　　　

答案： 解:
(1)由题意，得2×$\frac{1}{2}$(x + y)(y - x) = (y² - x²)m²。
　答:小刚家菜地的面积是(y² - x²)m²。
(2)当x = 20,y = 30时,y² - x² = 30² - 20² = 900 - 400 = 500。
　答:当x = 20,y = 30时,小刚家菜地的面积是500m²。

16.已知x≠1，观察下列各式:(1−x)(1 + x)=1−x²，(1−x)(1 + x + x²)=1−x³，(1−x)(1 + x + x² + x³)=1−x⁴。
　(1)猜想:(1−x)(1 + x + x² + …. + xⁿ)=____________(n为正整数);
　(2)计算:
　①(1−2)(1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵);
　②2 + 2² + 2³ + …. + 2ⁿ(n为正整数);
　③(x−1)(x¹⁹⁹ + x¹⁹⁸ + …. + x + 1);
　(3)通过以上规律，请你进行下面的探索:
　①(a−b)(a + b)=____________;
　②(a−b)(a² + ab + b²)=____________;
　③(a−b)(a³ + a²b + ab² + b³)=__________。

答案： 解:
(1)1 - xⁿ⁺¹
(2)①(1 - 2)(1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵) = 1 - 2⁶ = - 63。
　②2 + 2² + 2³ + 2⁴ + … + 2ⁿ = - (1 - 2)(1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + … + 2ⁿ⁻¹) = 2ⁿ⁺¹ - 2。
　③(x - 1)(x¹⁹⁹ + x¹⁹⁸ + … + x + 1)
　= - (1 - x)(1 + x + … + x¹⁹⁸ + x¹⁹⁹) = x²⁰⁰ - 1。
(3)①a² - b²　②a² - b²　③a² - b²