《2025年畅行课堂七年级数学下册北师大版》

6.(滨州中考)若m + n = 10，mn = 5，则m² + n²的值为______。

答案： 90

7.已知a² + b² = 13，(a - b)² = 1，则(a + b)² = ______。

答案： 25

[变式]若(a - b)² = 40，(a + b)² = 400，则a² + b²的值是______。

答案： 220

8.已知:x² + y² = 2，xy = -$\frac{1}{2}$，求下列代数式的值:
　(1)(x - y)²;
　(2)x⁴ + y⁴。

答案： 解:
(1)因为x²+y²=2,xy= - $\frac{1}{2}$,所以(x - y)²=x²+y² - 2xy =2 - 2×(-$\frac{1}{2}$)=3。
(2)因为x²+y²=2,xy= - $\frac{1}{2}$,所以x⁴+y⁴=(x²+y²)² - 2x²y²=2² - 2×(-$\frac{1}{2}$)²=$\frac{7}{2}$。

9.如图，长方形ABCD的周长是12cm，分别以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH。若正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为20cm²，则长方形ABCD的面积是（ ）

A.6cm²
B.7cm²
C.8cm²
D.4cm²

答案： C

10.对于任意正整数n，整式(3n + 1)(3n - 1) - (3 - n)(3 + n)的值一定是10的倍数，试说明理由。

答案： 解:(3n + 1)(3n - 1) - (3 - n)(3 + n)=9n² - 1 - (9 - n²)=9n² - 1 - 9 + n²=10n² - 10 =10(n² - 1)。
因为n为正整数,所以整式(3n + 1)(3n - 1) - (3 - n)(3 + n)的值一定是10的倍数。

11.图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形。
　(1)观察图2，请你写出(a + b)²，(a - b)²，ab之间的等量关系:______________________;
　(2)运用你所得到的公式计算:若m，n为正整数，且mn = 3，m - n = 2，试求(m + n)²的值;
　(3)如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形ACDE和正方形BCFG。若AB = 8，两正方形的面积和S1 + S2 = 38，求图中阴影部分的面积。

答案： 解:
(1)(a + b)²=(a - b)²+4ab
(2)由
(1),得(m + n)²=(m - n)²+4mn,即(m + n)²=2²+4×3=16。
(3)设正方形ACDE的边长为a，正方形BCFG的边长为b,则S₁=a²,S₂=b²。
因为AB = 8,两正方形的面积和S₁+S₂=38,所以a + b = 8,a²+b²=38。
因为(a + b)²=a²+2ab+b²,即64 = 38+2ab,所以ab = 13。
所以阴影部分的面积为$\frac{1}{2}$ab=$\frac{13}{2}$。