《2025年畅行课堂七年级数学下册北师大版》

13.小明使用比较简便的方法完成了一道作业题,如框:
小明的作业
计算:8⁵×(−0.125)⁵。
解:原式=(−8×0.125)⁵
=(−1)⁵
=−1。
请你参考小明的方法解答下列问题。
计算:(1)4²⁰²³×(−0.25)²⁰²³;
(2)( $\frac{12}{5}$ )²⁰²¹×(− $\frac{5}{6}$ )²⁰²³×( $\frac{1}{2}$ )²⁰²²

答案： 解:
(1)原式=(-4×0.25)²⁰²³
= (-1)²⁰²³
= -1。
(2)原式=(-$\frac{12}{5}$×$\frac{5}{6}$×$\frac{1}{2}$)²⁰²¹×(-$\frac{5}{6}$)²×$\frac{1}{2}$
= (-1)²⁰²¹×$\frac{25}{36}$×$\frac{1}{2}$
= -$\frac{25}{72}$。

14.已知(x - 1)ˣ⁺⁶ = 1,求x的值。

答案： 解:分三种情况进行讨论:
①当x - 1 = 1时,x = 2,
此时(2 - 1)ˣ⁺⁶ = 1成立;
②当x - 1 = -1时,x = 0,
此时(0 - 1)ˣ⁺⁶ = 1成立;
③当x + 6 = 0时,x = -6,
此时(-6 - 1)⁻⁶⁺⁶ = 1成立。
综上所述，x的值为2或0或 - 6。

15.若aᵐ = aⁿ(a＞0且a≠1,m,n为整数),则m = n,利用这一结论解决下列问题:
(1)若8ᵐ = 2⁹,则m =______;
(2)已知27÷3ˣ×9ˣ⁺¹ = 3⁶,求x的值。

答案： 解:
(1)3
(2)因为27÷3ˣ×9ˣ⁺¹ = 3⁷,
所以3³÷3ˣ×(3²)ˣ⁺¹ = 3⁷,
所以3³÷3ˣ×3²ˣ⁺² = 3⁷,
所以3³⁻ˣ⁺²ˣ⁺² = 3⁷,
即3ˣ⁺⁵ = 3⁷,
所以x + 5 = 7,
解得x = 2。

16.[中考新考法.用类似方法计算]阅读材料:求1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ +... + 2²⁰²² + 2²⁰²³的值。
解:设S = 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ +... + 2²⁰²² + 2²⁰²³,①
①×2,得
2S = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ +... + 2²⁰²³ + 2²⁰²⁴,②
由②−①,得2S - S = 2²⁰²⁴ - 1,即S = 2²⁰²⁴ - 1,所以1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ +... + 2²⁰²² + 2²⁰²³ = 2²⁰²⁴ - 1。
请你仿照此法计算:
(1)1 + 2 + 2² + 2³ +... + 2¹⁰;
(2)1 + 3 + 3² + 3³ + 3⁴ +... + 3ⁿ(其中n为正整数)。

答案： 解:
(1)设S₁ = 1 + 2 + 2² + 2³ +... + 2¹⁰,①
①×2,得2S₁ = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ +... + 2¹¹,②
② - ①,得2S₁ - S₁ = 2¹¹ - 1,即S₁ = 2¹¹ - 1,
所以1 + 2 + 2² + 2³ +... + 2¹⁰ = 2¹¹ - 1。
(2)设S₂ = 1 + 3 + 3² + 3³ + 3⁴ +... + 3ⁿ,①
①×3,得3S₂ = 3 + 3² + 3³ + 3⁴ + 3⁵ +... + 3ⁿ⁺¹,②
② - ①,得3S₂ - S₂ = 3ⁿ⁺¹ - 1,则S₂ = $\frac{3ⁿ⁺¹ - 1}{2}$,
所以1 + 3 + 3² + 3³ + 3⁴ +... + 3ⁿ = $\frac{3ⁿ⁺¹ - 1}{2}$。