《2025年畅行课堂七年级数学下册北师大版》

1. [跨学科融合][几何直观、推理能力、应用意识]当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向发生了变化，这种现象叫作光的折射。
如图，直线AB与CD相交于点F，一束光线沿CD射入水面，在点F处发生折射，沿FE射入水中。如果∠1 = 42°，∠2 = 29°，那么光线与AB的夹角改变了　　　　　　　(　　)

A. 10°　　　
　B. 12°　　
　C. 13°　　
　D. 15°

答案： C

2. [几何直观、推理能力、创新意识]如图，点P是∠AOB的边OB上一点。
(1)过点P画OA的垂线，垂足为H；
(2)过点P画OB的垂线，交OA于点C；
(3)分别比较PH与PC，PC与CO，PH与CO的大小，并说明理由。

答案：
解:
(1)如图，PH即为所求。
　　　　　　
(2)如图，PC即为所求。
(3)PH＜PC，PC＜CO，PH＜CO。理由：垂线段最短。

3. [几何直观、空间观念、推理能力、模型观念]如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在点A'处，折痕为BC。
(1)∠A'BC与∠ABC有怎样的数量关系？
(2)如果BE是∠A'BD的平分线，那么BE与BC有怎样的位置关系？为什么？

答案： 解:
(1)由折叠的性质，得∠A'BC =∠ABC。
(2)BE⊥BC。理由如下：
　由
(1)，知∠A'BC=∠ABC，
　因为BE平分∠A'BD，
　所以∠A'BE=∠DBE。
　又因为∠A'BC + ∠ABC + ∠A'BE + ∠DBE = 180°，所以∠A'BC + ∠A'BE = 90°，所以∠EBC = 90°，即BE⊥BC。

4. [几何直观、推理能力、模型观念]如图，直线AB，CD，EF被直线BF所截，∠B + ∠1 = 180°，∠2 = ∠3，试说明:∠B + ∠F = 180°。

答案： 解:因为∠B + ∠1 = 180°，
　所以AB//CD。
　因为∠2 = ∠3，
　所以CD//EF，
　所以AB//EF，
　所以∠B + ∠F = 180°。

5. [几何直观、空间观念、推理能力、创新意识]如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D，C分别落在点D'，C'的位置，ED'的延长线与BC相交于点G。设∠EFG = 68°，求∠1，∠2的度数。

答案： 解:由题意，得∠DEF = ∠D'EF，
AD//BC，
　所以∠DEF = ∠EFG = 68°，
　所以∠D'EF = 68°。
　因为∠1 + ∠DEF + ∠D'EF = 180°，所以∠1 = 44°。
　因为AD//BC，所以∠1 + ∠2 = 180°，所以∠2 = 180° - ∠1 = 136°。

6. [几何直观、推理能力、创新意识]试说明:两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直。

答案：
解:题目可用数学语言表达为:如图，已知a//b，AC平分∠DAB，BC平分∠ABE，试说明:AC⊥BC。
　　　　　
　说明过程如下:
　如图，过点C作直线a的平行线CF。
　因为a//b，所以a//CF//b，∠DAB + ∠ABE = 180°。
　所以∠1 = ∠ACF，∠2 = ∠BCF。因为AC，BC分别是∠DAB，∠ABE的平分线，所以∠1 = $\frac{1}{2}$∠DAB，∠2 = $\frac{1}{2}$∠ABE，
　所以∠ACF + ∠BCF = ∠1 + ∠2 = $\frac{1}{2}$×180° = 90°，即∠ACB = 90°，所以AC⊥BC，
　所以两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直。