《2025年畅行课堂七年级数学下册北师大版》

1.下列计算正确的是　　　　　　　　　　(　　)
A.a²·a²=a⁶　　　　
　B.(−a²b)²=−a⁶b²
C.a⁶÷a²=a²　　　　
　D.(a²)²=a⁶

答案： D

2.下列计算正确的是　　　　　　　　　　(　　)
A.(−2)⁻²=4　　　
　B.3⁰=0
C.−1⁻²=1　　　　　
　D.(−$\frac{1}{2}$)⁻²=−2

答案： D

3.计算:(a²)²+a²·a²−a²÷a⁻³=　　　(　　)
A.2a⁵−a　　　　　　
　B.2a⁵−$\frac{1}{a}$
C.a⁵　　　　　　　　
　D.a⁶

答案： D

4.芝麻是山西省的主要油料作物，被称为“八谷之冠”，它作为食物和药物，应用广泛.经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，这一数据用科学记数法表示为______________kg.

答案： 2.01×10⁻⁶

5.计算:(−$\frac{4}{5}$)²⁰²²×($\frac{5}{4}$)²⁰²³=________。

答案： $\frac{5}{4}$

6.已知aˣ=2，aʸ=3，求下列代数式的值:
(1)a²ˣ⁺ʸ;
(2)aˣ⁻³ʸ。

答案：
(1)解：原式$=a^{2x}\cdot a^{y}$
$=(a^{x})^{2}\cdot a^{y}$
$=2^{2}×3 = 12$。
(2)解：原式$=a^{x}÷a^{3y}$
$=a^{x}÷(a^{y})^{3}$
$=2÷3^{3}=\frac{2}{27}$。

7.下列各式计算正确的是　　　　　　　(　　)
A.(a + b)(a - b)=a² + b²
B.(−a - b)(a - b)=a² - b²
C.($\frac{1}{2}$ - m)²=$\frac{1}{4}$ - m + m²
D.(−m + n)²=m² + 2mn + n²

答案： C

8.化简:(a + 1)² - a²=__________。

答案： 2a + 1

9.若a - b = 5，a² + b² = 13，则ab =______。

答案： −6

10.请你参考黑板上老师的讲解，用乘法公式简便计算下列各题:
例1:101²=(100 + 1)²
=100² + 2×100×1 + 1²
=10201。
例2:17×23=(20 - 3)×(20 + 3)
=20² - 3²
=391。
(1)999²;
(2)2022² - 2021×2023。

答案：
(1)解：原式$=(1000 - 1)^{2}=1000^{2}-2×1000×1 + 1^{2}=1000000 - 2000 + 1 = 998001$。
(2)解：原式$=2022^{2}-(2022 - 1)×(2022 + 1)=2022^{2}-(2022^{2}-1^{2}) = 1$。

11.[发现]两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和。
[验证]如:(2 + 1)²+(2 - 1)² = 10为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和。
[探究]设[发现]中的两个正整数为m，n，请论证[发现]中的结论正确。

答案： 解:【验证】10的一半为5，5 = $1^{2}+2^{2}$。
【探究】因为$(m + n)^{2}+(m - n)^{2}=m^{2}+2mn + n^{2}+m^{2}-2mn + n^{2}=2m^{2}+2n^{2}=2(m^{2}+n^{2})$，所以两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数。又因为$\frac{1}{2}×2(m^{2}+n^{2})=m^{2}+n^{2}$，所以该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和。