《2025年畅行课堂七年级数学下册北师大版》

4. 如图,在△ABC中,∠ACB = 90°,AC = BC,BE⊥CE于点E,AD⊥CE于点D。若AD = 12,CD = 5,则ED的长是　　　　　(　　)
　　　　　　　　
　
A. 8　　　　
　B. 7　　　
　C. 6　　　
　D. 5

答案： B

5. 如图,在Rt△ABC中,∠ABC = 90°,点D在BC的延长线上,且BD = AB。过点B作BE⊥AC,与BD的垂线DE交于点E。
　(1)试说明:△ABC≌△BDE;
　(2)请找出线段AB,DE,CD之间的数量关系，并说明理由。
　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解:
(1)因为BE⊥AC，所以∠A + ∠ABE = 90°。
因为∠ABC = 90°，所以∠DBE + ∠ABE = 90°，所以∠A = ∠DBE。
因为ED⊥BD，所以∠BDE = 90°，所以∠ABC = ∠BDE。
在△ABC和△BDE中，
∠A = ∠DBE，
{AB = BD，
∠ABC = ∠BDE，
所以△ABC ≌ △BDE(ASA)。
(2)AB = CD + DE。理由如下:因为△ABC ≌ △BDE，所以BC = DE。因为AB = BD，BD = CD + BC，所以AB = CD + DE。

6. (1)某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面的基本图形。如图1,在△ABC中，∠BAC = 90°,AB = CA,直线l经过点A，BD⊥l,CE⊥l,垂足分别为D,E。试说明:DE = BD + CE。
　(2)组员小刘想，如果∠BDA，∠AEC，∠BAC这三个角不是直角，那么结论还会成立吗？如图2,将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB = CA,D,A,E三点都在直线l上,并且有∠BDA = ∠AEC = ∠BAC = α,其中α为任意锐角或钝角。请问结论DE = BD + CE是否成立？请说明理由。
　　

答案： 解:
(1)因为BD⊥L，CE⊥L，所以∠BDA = ∠AEC = 90°，所以∠BAD + ∠ABD = 90°。
因为∠BAC = 90°，所以∠BAD + ∠CAE = 90°，所以∠CAE = ∠ABD。
在△ADB和△CEA中，
∠BDA = ∠AEC，
{∠ABD = ∠CAE，
AB = CA，
所以△ADB ≌ △CEA(AAS)。
所以BD = AE，AD = CE，所以DE = AE + AD = BD + CE。
(2)DE = BD + CE成立。理由如下:
因为∠BDA = ∠BAC = α，所以∠DBA + ∠BAD = ∠BAD + ∠EAC = 180° - α。
所以∠DBA = ∠EAC。
在△ADB和△CEA中，
∠BDA = ∠AEC，
{∠DBA = ∠EAC，
AB = CA，
所以△ADB ≌ △CEA(AAS)。
所以BD = AE，AD = CE，所以DE = AE + AD = BD + CE。