《2025年畅行课堂七年级数学下册北师大版》

5.先化简，再求值:(2m+1)(2m−1)−(m - 1)²+(2m)²÷(−8m),其中m²+m−2 = 0。

答案： 解:原式 = 4m² - 1 - (m² - 2m + 1) + 8m²÷(-8m)
= 4m² - 1 - m² + 2m - 1 - m
= 2m² + 2m - 2
= 2(m² + m) - 2
因为 m² + m - 2 = 0,所以 m² + m = 2
所以原式 = 2×2 - 2 = 2

6.先化简,再求值:[(x+2y)(x−2y)−(x - 3y)²]÷(−2y),其中(x+1)²+|y−2| = 0。

答案： 解:原式 = (x² - 4y² - x² + 6xy - 9y²)÷(-2y)
= (6xy - 13y²)÷(-2y)
= -3x + $\frac{13}{2}$y
因为 (x + 1)² + |y - 2| = 0,所以 x + 1 = 0, y - 2 = 0
所以 x = -1, y = 2
所以原式 = -3×(-1) + $\frac{13}{2}$×2 = 3 + 13 = 16

7.试说明:(x+3)(6x+2)−6x(x+4)+4(x+1)的值与x的取值无关。

答案： 解: (x + 3)(6x + 2) - 6x(x + 4) + 4(x + 1)
= 6x² + 2x + 18x + 6 - 6x² - 24x + 4x + 4
= 10
所以 (x + 3)(6x + 2) - 6x(x + 4) + 4(x + 1) 的值与 x 的取值无关

8.发现:任意三个连续的整数中，最大数与最小数的平方差是4的倍数。
　验证:(1)(−1)²−(−3)²的结果是4的几倍？
　(2)设三个连续的整数中,中间的数为n,计算最大数与最小数的平方差，并说明它是4的倍数;
　延伸:任意三个连续的奇数中，最大数与最小数的平方差是8的倍数，请说明理由。

答案： 解:验证:
(1)因为 (-1)² - (-3)² = 1 - 9 = -8 = 4×(-2)
所以 (-1)² - (-3)² 的结果是 4 的(-2)倍
(2)设三个连续的整数中,中间的数为 n,则最大数为 n + 1,最小数为 n - 1
则 (n + 1)² - (n - 1)² = n² + 2n + 1 - n² + 2n - 1 = 4n
因为 n 是整数,所以任意三个连续的整数中,最大数与最小数的平方差是 4 的倍数
延伸:设三个连续的奇数中,中间的奇数为 m,则最大的奇数为 m + 2,最小的奇数为 m - 2
则 (m + 2)² - (m - 2)² = m² + 4m + 4 - m² + 4m - 4 = 8m
因为 m 是整数,所以任意三个连续的奇数中,最大数与最小数的平方差是 8 的倍数