《2025年畅行课堂七年级数学下册北师大版》

1. [运算能力、几何直观、创新意识]如图，点D,C,H,G分别在长方形ABJI的边上，点E,F在CD上，若大正方形ABCD的面积为20，图中阴影部分的面积总和为8，则小正方形EFGH的面积为　　　　　　　　　(　　)
　　　　　　　
　
A.3　　　　
　B.4　　　
　C.5　　　
　D.6

答案： B

2. [运算能力、几何直观、推理能力、创新意识]如图，有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为3；图2将正方形A、B并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为23；若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3（图2、图3中正方形A、B纸片均无重叠部分），则图3阴影部分的面积是________。
　

答案： 49

3. [运算能力、推理能力、应用意识]设$a_1,a_2,\cdots,a_{2024}$是从1,0，−1这三个数中取值的一列数，若$a_1 + a_2 + \cdots + a_{2024} = 69$，$(a_1 + 1)^2 + (a_2 + 1)^2 + \cdots + (a_{2024} + 1)^2 = 4003$，则$a_1,a_2,\cdots,a_{2024}$中值为0的个数为________。
　

答案： 183
[解析]因为(a₁ + 1)² + (a₂ + 1)² + … + (a₂₀₂₄ + 1)² = a₁² + a₂² + … + a₂₀₂₄² + 2(a₁ + a₂ + … + a₂₀₂₄) + 2024 = 4003，a₁ + a₂ + … + a₂₀₂₄ = 69，所以a₁² + a₂² + … + a₂₀₂₄² = 4003 - 2024 - 2×69 = 1841。因为a₁，a₂，…，a₂₀₂₄是从1，0， - 1这三个数中取值的一列数，所以a₁，a₂，…，a₂₀₂₄中值为1或 - 1的个数之和为1841，所以a₁，a₂，…，a₂₀₂₄中值为0的个数为2024 - 1841 = 183。

4. [运算能力、几何直观、应用意识]如图，一长方形地块用来建造住宅、广场、商厦，求这块地的面积。
　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解：这块地的面积为
4a·[(3a + 2b) + (2a - b)]
= 4a·(5a + b)
= 20a² + 4ab。

5. [运算能力、应用意识]求下列代数式的值：$(2a + b)^2 - (3a - b)^2 + 5a(a - b)$，其中$a = \frac{7}{15}$，$b = \frac{3}{14}$。

答案： 解：原式 = 4a² + 4ab + b² - (9a² - 6ab + b²) + 5a² - 5ab
= 4a² + 4ab + b² - 9a² + 6ab - b² + 5a² - 5ab
= 5ab。
当a = $\frac{7}{15}$，b = $\frac{3}{14}$时，
原式 = 5×$\frac{7}{15}$×$\frac{3}{14}$ = $\frac{1}{2}$。

6. [运算能力、推理能力、应用意识]观察下列等式：
　　　　　2×4 + 1 = 9，
　　　　　4×6 + 1 = 25，
　　　　　6×8 + 1 = 49，
　　　　　探索以上等式的规律，写出第n（n为正整数）个等式，并说明第n个等式成立。

答案： 解：第n个等式是2n·(2n + 2) + 1 = (2n + 1)²。
说明：左边 = 4n² + 4n + 1，右边 = 4n² + 4n + 1，
所以左边 = 右边，
因此2n·(2n + 2) + 1 = (2n + 1)²成立。