《2025年畅行课堂七年级数学下册北师大版》

1. 如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD。
　(1) 图中∠AOF的余角是____________；(写一个即可)
　(2) ∠EOF = ____________；(写一个即可)
　(3) 如果∠AOD = 160°，那么根据对顶角相等，可得∠BOC = ____________；
　(4) 如果∠AOD = 4∠EOF，求∠EOF的度数。
　　　　　　　　　　　　　

答案： 解:
(1)∠EOF(答案不唯一)
(2)∠AOC(答案不唯一)
(3)160°
(4)因为OE⊥AB，OF⊥CD，
所以∠DOF = ∠BOE = 90°，
所以∠EOF + ∠DOE = 90°，∠BOD + ∠DOE = 90°，所以∠EOF = ∠BOD。
因为∠AOD + ∠BOD = 180°，∠AOD = 4∠EOF，所以4∠EOF + ∠EOF = 180°，即5∠EOF = 180°，所以∠EOF = 36°。

2. 如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC = 80°，射线OE把∠BOD分成两个角，且∠BOE : ∠EOD = 3 : 5。
　　　　　　　
　(1) 求∠BOE的度数；
　(2) 过点O作射线OF⊥OE，求∠BOF的度数。

答案：
解:
(1)因为∠AOC = 80°，
所以∠BOD = ∠AOC = 80°。
因为∠BOE : ∠EOD = 3 : 5，且∠BOE + ∠EOD = ∠BOD，
所以∠BOE = 80°×$\frac{3}{3 + 5}$ = 30°。
(2)如图，因为OF⊥OE，所以∠EOF = 90°。

由
(1)知∠BOE = 30°，
当OF在∠AOD的内部时，∠BOF = ∠EOF + ∠BOE = 90° + 30° = 120°。
当OF在∠BOC的内部，即在OF'的位置时，∠BOF = ∠EOF' - ∠BOE = 90° - 30° = 60°。
综上所述，∠BOF的度数为60°或120°。

3. 直线AB与直线CD相交于点O，OE平分∠BOD。
　(1) 如图1，若∠BOC = 130°，则∠AOE的度数是__________；
　(2) 如图2，射线OF在∠AOD内部。
　　① 若OF⊥OE，判断OF是否为∠AOD的平分线，并说明理由；
　　② 若OF平分∠AOE，∠AOF = $\frac{5}{3}$∠DOF，求∠BOD的度数。
　　　　　　　

答案： 解:
(1)155°
(2)①OF是∠AOD的平分线。理由如下:
因为OF⊥OE，所以∠EOF = 90°，所以∠BOE + ∠AOF = 90°。
因为OE平分∠BOD，
所以∠BOE = ∠DOE，
所以∠DOE + ∠AOF = 90°。
因为∠DOE + ∠DOF = ∠EOF = 90°，所以∠AOF = ∠DOF，
所以OF是∠AOD的平分线。
②因为∠AOF = $\frac{5}{3}$∠DOF，
设∠DOF = 3x，则∠AOF = 5x。因为OF平分∠AOE，
所以∠EOF = ∠AOF = 5x，
所以∠DOE = ∠EOF - ∠DOF = 2x。
因为OE平分∠BOD，
所以∠BOD = 4x，所以5x + 3x + 4x = 180°，
所以x = 15°，所以∠BOD = 4x = 60°。