《2025年5年中考3年模拟七年级数学下册北京课改版》

21.新考向·过程性学习试题(2024北京二中期中)(8分)
【例题讲解】因式分解:$x^{3}-1$.
$\because x^{3}-1$为三次二项式,若能因式分解,则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积.
故我们可以猜想$x^{3}-1$可以分解成$(x - 1)\cdot(x^{2}+ax + b)$,即$x^{3}-1=(x - 1)(x^{2}+ax + b)$,展开等式右边得$x^{3}+(a - 1)x^{2}+(b - a)x - b$,
$\therefore x^{3}-1=x^{3}+(a - 1)x^{2}+(b - a)x - b$恒成立.
$\therefore$等号左右两边的同类项的系数应相等,即$\begin{cases}a - 1 = 0,\\b - a = 0,\\-b = -1,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 1,\\b = 1,\end{cases}$
$\therefore x^{3}-1=(x - 1)(x^{2}+x + 1)$.
【方法归纳】
设某一多项式的全部或部分系数为未知数,利用当两个多项式为恒等式时,同类项系数相等的原理确定这些系数,从而得到待求的值,这种方法叫待定系数法.
【学以致用】
(1)若$x^{2}+mx - 6=(x - 2)(x + 3)$,则$m = $________.
(2)若$x^{3}-2x^{2}+2x + k$因式分解后有一个因式是$x + 1$,求$k$的值及另一个因式.

答案： 解析
(1)1. 详解:$\because (x - 2)(x + 3)=x^{2}+x - 6$,
∴x²+x−6=x²+mx−6,
　
　
∴m=1.
(2)设另一个因式为(x²+ax+k)，
　　　　则(x+1)(x²+ax+k)
　　　　=x²+ax²+kx+x²+ax+k=x²+(a+1)x²+(a+k)x+k,
　
　
∴x²+(a+1)x²+(a+k)x+k=x²−2x²+2x+k,
　
　
∴a+1=−2,a+k=2,
　　　　解得a=−3,k=5,
　
　
∴另一个因式为x²−3x+5.

22.(2024北京丰台八中期中)(10分)阅读下列材料,回答问题.
“我们把多项式$a^{2}+2ab + b^{2}$及$a^{2}-2ab + b^{2}$叫作完全平方式”.如果一个多项式不是完全平方式,我们常做如下变形:先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变,这种方法叫作配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法,不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式,还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等,例如:分解因式$x^{2}+2x - 3$,我们可以进行以下操作:$x^{2}+2x - 3=(x^{2}+2x + 1)-4=(x + 1)^{2}-4$,再利用平方差公式可得$x^{2}+2x - 3=(x + 3)(x - 1)$;再如:求代数式$2x^{2}+4x - 6$的最小值,我们可以将代数式进行如下变形:$2x^{2}+4x - 6 = 2(x^{2}+2x - 3)=2[(x^{2}+2x + 1)-4]=2(x + 1)^{2}-8$,于是由平方的非负性可知,当$x = -1$时,$2x^{2}+4x - 6$有最小值 - 8.
根据阅读材料,用配方法解决下列问题:
(1)若多项式$x^{2}-4x + k$是一个完全平方式,则常数$k = $________.
(2)分解因式:$x^{2}-4x - 12 = $____________,代数式$2x^{2}-8x - 24$的最小值为________.
(3)试判断代数式$a^{2}+2b^{2}+11$与$2ab + 2a + 4b$的大小,并说明理由.

答案： 　22解析　
(1)4.
　　　　详解:设x²−4x+k=(x+m)²,则x²−4x+k=x²+2mx +m²,
　　　　　..{2km=m=²−,4,
　　　　　解得{mk==4−.2,
(2)(x+2)(x−6);−32.
　　　　　详解:x²−4x−12=(x²²−4x+4)−4−12=(x−2)²−4²²=
　　　　　(x−2+4)(x−2−4)=(x+2)(x−6),
　　　　2x²−8x−24=2(x²−4x−12)=2(x²−4x+4−4−12)=
　　　　　2(x−2)²−32,
　　　　　由平方的非负性可知,当x=2时,2x²−8x−24有最小值−32.
(3)a²+2b²+11＞2ab+2a+4b.理由如下:
　
　
∵(a²²+2b²+11)−(2ab+2a+4b)
　　　　　=a²+2b²+11−2ab−2a−4b
　　　　　=[(a²−2ab+b²)+(−2a+2b)+1]+(b²−6b+9)+1
　　　　　=[(a−b)²−2(a−b)+1]+(b−3)²+1
　　　　　=(a−b−1)²+(b−3)²+1＞0,
　
　
∴a²+2b²+11＞2ab+2a+4b.