《2025年5年中考3年模拟七年级数学下册北京课改版》

1. 下面使用类比推理恰当的是 （ ）
A. “若a·3=b·3,则a=b”类比推出“若a·0=b·0,则a=b”
B. “(a+b)c=ac+bc”类比推出“(a·b)c=ac·bc”
C. “(a+b)c=ac+bc”类比推出“$\frac{a + b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}(c\neq0)$”
D. “(ab)^n=a^nb^n”类比推出“(a + b)^n=a^n + b^n”

答案： C A.因为0乘任何数都等于0,所以A错误;B.类比推出的结果不符合乘法的运算性质,所以B错误;D.(1 + 1)²≠1² + 1²,所以D错误.由排除法可知选C.

2. 如图2,圆柱被一个平面斜切后得到一个几何体,类比梯形面积公式的推导方法(如图1)推导出图2中几何体的体积为________.(结果保留π)
　　　　

答案： 答案 63π
解析 由题意可知几何体的体积为$\frac{1}{2}\times\pi(\frac{6}{2})^{2}\times(8 + 6)=63\pi$.

3. 教材变式 (2024山东济南商河期末)如图所示:
　　
(1)试验观察:
如果每过两点可以画一条直线,那么:
图①最多可以画________条直线;
图②最多可以画________条直线;
图③最多可以画________条直线.
(2)探索归纳:
如果平面上有n(n≥3)个点,且每3个点均不在同一直线上,那么最多可以画________条直线(用含n的代数式表示).
(3)解决问题:
某班45名同学在毕业后的一次聚会中,若每两人握1次手问好,那么共握________次手.

答案：
答案
(1)3;6;10
(2)$\frac{n(n - 1)}{2}$
(3)990
解析
(1)如图所示：

图①最多可以画3条直线;
图②最多可以画6条直线;
图③最多可以画10条直线.
(2)图①最多可以画3条直线,3 = 1 + 2;
图②最多可以画6条直线,6 = 1 + 2 + 3;
图③最多可以画10条直线,10 = 1 + 2 + 3 + 4;
……
如果平面上有n(n≥3)个点,且每3个点均不在同一条直线上,那么最多可以画1 + 2 + 3 + … + n - 1 = $\frac{n(n - 1)}{2}$条直线.
(3)$\frac{1}{2}\times45\times44 = 990$,共握990次手.

4. (2024北京十二中期中,19,★☆☆)如图,用围棋棋子按如图所示的规律摆图形,则摆第5个图形需要围棋棋子的枚数是________,第n个图形需要围棋棋子的枚数是________.
　　　

答案： 答案 29;6n - 1
解析 摆第1个图形需要围棋棋子的枚数是6×1 - 1 = 5;
摆第2个图形需要围棋棋子的枚数是6×2 - 1 = 11;
摆第3个图形需要围棋棋子的枚数是6×3 - 1 = 17;
摆第4个图形需要围棋棋子的枚数是6×4 - 1 = 23;
摆第5个图形需要围棋棋子的枚数是6×5 - 1 = 29;
……
∴摆第n个图形需要围棋棋子的枚数是6n - 1.

5. (2024北京第一七一中学期中,18,★☆☆)a是不为1的有理数,我们把$\frac{1}{1 - a}$称为a的差倒数.例如:2的差倒数是$\frac{1}{1 - 2}=-1$, - 1的差倒数是$\frac{1}{1 - (-1)}=\frac{1}{2}$,已知$a_1=-\frac{1}{3}$,$a_2$是$a_1$的差倒数,$a_3$是$a_2$的差倒数,$a_4$是$a_3$的差倒数,……,则$a_4$=________,依此类推,$a_{2024}$=________.

答案： 答案 $-\frac{1}{3};\frac{3}{4}$
解析 由题意得$a_{1}=-\frac{1}{3}$,
$a_{2}=\frac{1}{1 - a_{1}}=\frac{1}{1 - (-\frac{1}{3})}=\frac{3}{4}$,
$a_{3}=\frac{1}{1 - a_{2}}=\frac{1}{1 - \frac{3}{4}} = 4$,
$a_{4}=\frac{1}{1 - a_{3}}=\frac{1}{1 - 4}=-\frac{1}{3}$,
……
∴这一列数按$-\frac{1}{3},\frac{3}{4},4$每3个数循环一次,
∵2024÷3 = 674……2,
∴$a_{2024}=a_{2}=\frac{3}{4}$.

6. 推理能力 (2023浙江嘉兴中考)观察下面的等式:
$3^2 - 1^2=8×1$;$5^2 - 3^2=8×2$;$7^2 - 5^2=8×3$;$9^2 - 7^2=8×4$;…….
(1)写出$19^2 - 17^2$的结果.
(2)按上面的规律归纳出一个一般性结论(用含n的等式表示,n为正整数).
(3)请运用有关知识,推理说明(2)中的结论是正确的.

答案： 解析
(1)
∵(17 + 1)÷2 = 9,
∴19² - 17² = 8×9 = 72.
(2)(2n + 1)² - (2n - 1)² = 8n.
(3)
∵(2n + 1)² - (2n - 1)² = [(2n + 1)+(2n - 1)][(2n + 1)-(2n - 1)]=(2n + 1 + 2n - 1)(2n + 1 - 2n + 1)=4n×2 = 8n,
∴(2n + 1)² - (2n - 1)² = 8n,
(2)中的结论正确.