《2025年5年中考3年模拟七年级数学下册北京课改版》

13. 运算能力 换元法 (2024北京三十五中中期中)阅读下列材料：
已知有理数$m$,$n$满足$(2m^{2}+n^{2}+1)(2m^{2}+n^{2}-1)=80$，试求$2m^{2}+n^{2}$的值.
解：设$2m^{2}+n^{2}=t$，则原式变形为$(t + 1)(t - 1)=80$，
整理得$t^{2}-1=80$，$t^{2}=81$，
$\therefore t=\pm9$，
$\because 2m^{2}+n^{2}＞0$，
$\therefore 2m^{2}+n^{2}=9$.
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化.
根据材料，解决下列问题，并写出解答过程.
(1)已知有理数$x$、$y$满足$(2x^{2}+2y^{2}+3)(2x^{2}+2y^{2}-3)=27$，求$x^{2}+y^{2}$的值.
(2)在(1)的条件下，若$xy = 1$，求$(x + y)^{2}$和$x - y$的值.

答案： 解析
(1)设 $2x^{2}+2y^{2}=t$，
则原式变形为 $(t + 3)(t - 3)=27$，整理得 $t^{2}-9 = 27$，
$\therefore t^{2}=36$，解得 $t=\pm6$，
$\because 2x^{2}+2y^{2}＞0,\therefore 2x^{2}+2y^{2}=6,\therefore x^{2}+y^{2}=3$。
(2) $\because x^{2}+y^{2}=3,xy = 1$，
$\therefore(x + y)^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy = 3 + 2 = 5$，
$(x - y)^{2}=x^{2}+y^{2}-2xy = 3 - 2 = 1$，
$\therefore x - y=\pm1$。

例 (2024北京北师大二附中期中)若$x - y = 3$，$xy = 5$，则$x^{2}+y^{2}=$________.

答案： 答案 19
解析 $\because(x - y)^{2}=x^{2}-2xy + y^{2}=3^{2}=9$，
$\therefore x^{2}+y^{2}-2\times5 = 9$，
$\therefore x^{2}+y^{2}=19$。

1. 公式组合 已知$(a + b)^{2}=7$，$(a - b)^{2}=3$，求下列式子的值：
(1)$a^{2}+b^{2}$. (2)$ab$.

答案： 解析 $\because(a + b)^{2}=7,\therefore a^{2}+2ab + b^{2}=7$①。
$\because(a - b)^{2}=3,\therefore a^{2}-2ab + b^{2}=3$②。
(1)①+②得 $2a^{2}+2b^{2}=10,\therefore a^{2}+b^{2}=5$。
(2)①-②得 $4ab = 4,\therefore ab = 1$。

2. 整体代入 若$m^{2}-n^{2}=5$，$(m + n)^{2}=9$，求$m - n$的值.

答案： 解析 $\because(m + n)^{2}=9$，
$\therefore m + n=\pm3$
$\because m^{2}-n^{2}=5$，
$\therefore(m - n)(m + n)=5$，
当 $m + n = 3$时， $m - n=\frac{5}{3}$；
当 $m + n=-3$时， $m - n=-\frac{5}{3}$。
综上， $m - n$的值为 $\pm\frac{5}{3}$。

3. 逆用公式 计算：$(1-\frac{1}{2^{2}})\times(1-\frac{1}{3^{2}})\times(1-\frac{1}{4^{2}})\times\cdots\times(1-\frac{1}{2025^{2}})$.

答案： 解析 原式$=(1-\frac{1}{2})\times(1+\frac{1}{2})\times(1-\frac{1}{3})\times(1+\frac{1}{3})\times\cdots\times(1-\frac{1}{2025})\times(1+\frac{1}{2025})=\frac{1}{2}\times\frac{3}{2}\times\frac{2}{3}\times\frac{4}{3}\times\cdots\times\frac{2024}{2025}\times\frac{2026}{2025}=\frac{1}{2}\times\frac{2026}{2025}=\frac{1013}{2025}$。