《2025年5年中考3年模拟七年级数学下册北京课改版》

24. [答案含评分细则](分类讨论思想)(2024北京首都师大附中期中)(10分)对于两个关于$x$的不等式，同时满足这两个不等式的$x$的值中，有且仅有$k$个整数，则称这两个不等式是“$k - $关联”的。例如不等式$x＞2$和不等式$x＜4$是“$1 - $关联”的。
(1)请判断不等式$x - 1＜3$和$x - 2\geqslant1$是不是“$1 - $关联”的，并说明理由。
(2)若$3x - a＜0$和$x＞0$是“$1 - $关联”的，求$a$的最大值。
(3)若不等式$-x - 1＜-2b$和$x + 2b＜15$是“$b - $关联”的，直接写出$b$的值。

答案： 24解析　
(1)是“1−关联”的.　　　　　　　　　1分理由:由x−1＜3得x＜4,
　由x−2≥1得x≥3,
∴3≤x＜4,　　　　　　　　　　　　　　　　3分
∴同时满足这两个不等式的x的值中,有且仅有1 个整数3,
∴两个不等式是“1−关联”的.　　　　　　　　4分
(2)由3x−a＜0得x＜÷1α,
∵3x−a＜0和x＞0是“1−关联”的，
∴1＜a1≤2,解得3＜a≤6,
∴a的最大值是6.　　　　　　　　　　　　　8分
(3)b=3.　　　　　　　　　　　　　　　　10分详解:由−x−1＜−2b得x＞2b−1,
　由x+2b＜15得x＜15−2b,
∵两个不等式是“b−关联”的，
∴当b=0时,−1＜x＜15,
　此时两个不等式是“15−关联”的，与b=0矛盾，
∴b≠0,
∴b≥1,且b为整数，
∵2b−1＜15−2b,解得b＜4,
∴1≤b＜4,
　①当b=1时,1＜x＜13,
　此时有11个整数解，两个不等式是“11−关联”的，与b=1矛盾，故此情况不存在;
　②当b=2时,3＜x＜11,
　此时有7个整数解，两个不等式是“7−关联”的，与b =2矛盾，故此情况不存在;
　③当b=3时,5＜x＜9,
　此时有3个整数解，两个不等式是“3−关联”的，情况成立.
　综上,b的值为3.