《2025年5年中考3年模拟七年级数学下册北京课改版》

1.(2023北京延庆一模)如图所示的是利用割补法求图形面积的示意图，下列等式中与之相对应的是 （ ）

A.$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
B.$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
C.$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
D.$(ab)^2 = a^2b^2$

答案： A 题图中大正方形的面积为$(a + b)^2$，大正方形由 1 个边长为 a 的正方形，2 个长为 a、宽为 b 的长方形，1 个边长为 b 的正方形组成，所以可得$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。

2.(2024北京丰台八中期中)如图1，在边长为a的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图1中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形.根据两个图形中阴影部分面积相等，可以列出的等式为____________.

答案： 答案$a^2 - 9 = (a + 3)(a - 3)$ 解析 题图 1 中阴影部分的面积$= a^2 - 9$，题图 2 中阴影部分的面积$= (a + 3)(a - 3)$，因此有$a^2 - 9 = (a + 3)(a - 3)$。

3.(2022北京十一学校模拟)将一个长为2a，宽为2b的长方形纸片(a＞b)，用剪刀沿图1中的虚线剪开，分成四个形状和大小都一样的小长方形纸片，然后按图2的方式拼成一个大正方形，则中间小正方形的面积为 （ ）

A.$a^2 + b^2$
B.$a^2 - b^2$
C.$(a + b)^2$
D.$(a - b)^2$

答案： D $\because$中间小正方形的面积 = 大正方形的面积 - 4 个小长方形的面积，$\therefore$中间小正方形的面积$= (a + b)^2 - 4ab = a^2 + 2ab + b^2 - 4ab = (a - b)^2$。故选 D。

4.(2024北京海淀师达中学期中)对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式.
(1)模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式.
(2)解决问题：如果$a + b = 5$，$ab = 3$，求$a^2 + b^2$的值.
(3)类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为$(8 - x)$和$(x - 2)$，且$(8 - x)^2 + (x - 2)^2 = 20$，求这个长方形的面积.

答案： 解析
(1)$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
(2)$\because a + b = 5$， $\therefore (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 25$， $\because ab = 3$，$\therefore a^2 + b^2 = 19$。
(3)$\because [(8 - x) + (x - 2)]^2 = 6^2 = 36$， $\therefore (8 - x)^2 + (x - 2)^2 + 2(8 - x)(x - 2) = 36$， $\because (8 - x)^2 + (x - 2)^2 = 20$， $\therefore (8 - x)(x - 2) = 8$， $\therefore$长方形的面积是 8。