《2025年5年中考3年模拟七年级数学下册北京课改版》

11. (2023北京通州期末,26,)已知关于$x,y$的二元一次方程$kx + y = 3 - k,k$是不为零的常数.
(1)如果$\begin{cases}x = 2\\y = -3\end{cases}$是该方程的一个解,求$k$的值.
(2)对于$k$的每一个不为零的值,得到的每一个方程都有一组公共解,试求出这个公共解.

答案： 解析
(1)把x=2,y=-3代入kx + y = 3 - k，得2k - 3 = 3 - k，
解得k = 2.
(2)原方程可化为k(x + 1)+y = 3,
当x + 1 = 0，即x = -1时，无论k取任何一个不为零的值，都有y = 3,
即这个公共解是x=-1,y=3.

12. (2023北京怀柔期末,24,)某贸易公司有120吨商品需要运出,现有甲、乙、丙三种车型可供运输选择,每辆车的运载能力和运费如表所示.(假设每辆车均满载)

(1)全部商品一次性运送可用甲型车8辆、乙型车5辆和丙型车______辆.
(2)若该公司打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送,已知车辆总数为14辆,且一次性运完所有商品,求此时的总运费.

答案： 解析
(1)4.
详解:(120 - 8×5 - 5×8)÷10 = 4(辆).
(2)设甲型车用a辆，乙型车用b辆，则丙型车用(14 - a - b)辆,
由题意得5a + 8b + 10(14 - a - b)=120,
整理得5a + 2b = 20，且a,b,14 - a - b均为正整数，
当a = 1时,b = $\frac{15}{2}$，不符合题意;
当a = 2时,b = 5，14 - a - b = 7，符合题意;
当a = 3时,b = $\frac{5}{2}$，不符合题意;
当a = 4时,b = 0，不符合题意.
∴用甲型车2辆，乙型车5辆，丙型车7辆，此时的总运费为450×2 + 600×5 + 700×7 = 8800(元).

13. 应用意识【阅读理解】我们知道方程$3x + 2y = 14$有无数个解,但在实际问题中往往只需求出其正整数解.
例如:由$3x + 2y = 14$,得$y=\frac{14 - 3x}{2}=7-\frac{3}{2}x(x,y$为正整数).要使$y = 7-\frac{3}{2}x$为正整数,则$\frac{3}{2}x$为小于7的正整数,且$x$为2的倍数,当$x = 2$时,$y = 7-\frac{3}{2}\times2 = 4$.
所以$3x + 2y = 14$的一个正整数解为$\begin{cases}x = 2\\y = 4\end{cases}$.
【类比探究】请根据材料求出方程$2x + 3y = 9$的正整数解.
【拓展应用】学校需要给一个班52名学生安排宿舍,现有四人间和六人间两种规格的宿舍,在不造成资源浪费的情况下,试说明有几种不同的分配方法(两种规格均有),并一一列出.

答案： 解析 【类比探究】由2x + 3y = 9，得y = 3 - $\frac{2}{3}$x,
要使y为正整数，则$\frac{2}{3}$x为小于3的正整数，且x是3的倍数，
∴方程2x + 3y = 9的正整数解为x=3,y=1.
【拓展应用】设四人间有x间，六人间有y间，根据题意得4x + 6y = 52,
整理得y = $\frac{26 - 2x}{3}$,
∵x,y都是正整数，
∴x=1,y=8或x=4,y=6或x=7,y=4或x=10,y=2.
∴在不造成资源浪费的情况下，共有四种分配方法:①一间四人间，八间六人间;②四间四人间，六间六人间;③七间四人间，四间六人间;④十间四人间，两间六人间.